8.1.4 Mostre que \Gamma(z) pode ser escrita
\begin{aligned} & \Gamma(z)=2 \int_{0}^{\infty} e^{-t^{2}} t^{2 z-1} d t, \quad \Re(z)>0 & \Gamma(z)=\int_{0}^{1}\left[\ln \left(\frac{1}{t}\right)\right]^{z-1} d t, \quad \Re(z)>0 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas formas alternativas de escrever a função de Euler
\Gamma(z) definida originalmente como
\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}e^{-u}\,u^{z-1}\,du,\qquad \Re(z)>0.
Vamos usar duas mudanças de variável nessa integral:
  1. u=t^{2} para chegar na forma com e^{-t^{2}}.
  2. u=-\ln t para chegar na forma com \ln(1/t).

Passo 2

Para obter
\Gamma(z)=2\int_{0}^{\infty}e^{-t^{2}}\,t^{2z-1}\,dt
façamos a substituição
u=t^{2}, \quad du=2t\,dt, \quad t=\sqrt{u},
de modo que, quando t vai de 0 a \infty, u também vai de 0 a \infty. Na integral original temos
\int_{0}^{\infty}e^{-u}\,u^{z-1}\,du = \int_{0}^{\infty}e^{-t^{2}}\,\bigl(t^{2}\bigr)^{\,z-1}\,2t\,dt = 2\int_{0}^{\infty}e^{-t^{2}}\,t^{2z-2}\,t\,dt = 2\int_{0}^{\infty}e^{-t^{2}}\,t^{2z-1}\,dt.

Passo 3

Para obter
\Gamma(z)=\int_{0}^{1}\bigl[\ln(1/t)\bigr]^{z-1}\,dt
use a mudança de variável
u=-\ln t, \quad du=-\frac{1}{t}\,dt, \quad t=e^{-u}.
Quando u vai de 0 a \infty, t vai de 1 a 0. Na integral original
\int_{0}^{\infty}e^{-u}\,u^{z-1}\,du
substituímos e^{-u}=t e u^{z-1}=(-\ln t)^{z-1} e du=-dt/t, obtendo
\int_{0}^{\infty}e^{-u}\,u^{z-1}\,du = \int_{1}^{0}t\,[-\ln t]^{z-1}\,\bigl(-\tfrac{dt}{t}\bigr) = \int_{1}^{0}[-\ln t]^{z-1}\,dt = \int_{0}^{1}\bigl[\ln(1/t)\bigr]^{z-1}\,dt.

Resposta

\displaystyle \Gamma(z) =2\int_{0}^{\infty}e^{-t^{2}}\,t^{2z-1}\,dt, \quad \Re(z)>0
\displaystyle \Gamma(z) =\int_{0}^{1}\bigl[\ln(1/t)\bigr]^{z-1}\,dt, \quad \Re(z)>0

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