8.1.4 Mostre que Gamma(z) pode ser escrita
& Gamma(z)=2 integral0^infty e^-t^2 t^2 z-1 d t, Re(z)>0 & Gamma(z)=integral0^1[ln (1t)]^z-1 d t, Re(z)>0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas formas alternativas de escrever a função de Euler
Gamma(z)=integral0^inftye^-u,u^z-1,du, Re(z)>0 definida originalmente como
Vamos usar duas mudanças de variável nessa integral:
  1. para chegar na forma com .
  2. para chegar na forma com .

Passo 2

Para obter
Gamma(z)=2integral0^inftye^-t^2,t^2z-1,dt
façamos a substituição
u=t^2, du=2t,dt, t=raizu,
de modo que, quando integral0^inftye^-u,u^z-1,du = integral0^inftye^-t^2,l(t^2r)^,z-1,2t,dt = 2integral0^inftye^-t^2,t^2z-2,t,dt = 2integral0^inftye^-t^2,t^2z-1,dt vai de a , também vai de a . Na integral original temos
[
\int_{0}{\infty}e{-u},u^{z-1},du

\int_{0}{\infty}e{-t{2}},\bigl(t{2}\bigr)^{,z-1},2t,dt

2\int_{0}{\infty}e{-t{2}},t{2z-2},t,dt

2\int_{0}{\infty}e{-t{2}},t{2z-1},dt.
]

Passo 3

Para obter
Gamma(z)=integral0^1l[ln(1/t)r]^z-1,dt
use a mudança de variável
u=-ln t, du=-1t,dt, t=e^-u
Quando integral0^inftye^-u,u^z-1,du vai de integral0^inftye^-u,u^z-1,du = integral1^0t,[-ln t]^z-1,l(-tfracdttr) = integral1^0[-ln t]^z-1,dt = integral0^1l[ln(1/t)r]^z-1,dt a , vai de a . Na integral original

substituímos e e , obtendo
[
\int_{0}{\infty}e{-u},u^{z-1},du

\int_{1}^{0}t,[-\ln t]^{z-1},\bigl(-\tfrac{dt}{t}\bigr)

\int_{1}^{0}[-\ln t]^{z-1},dt

\int_{0}{1}\bigl[\ln(1/t)\bigr]{z-1},dt.
]

Resposta

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