8.1.4 Mostre que
pode ser escrita
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas formas alternativas de escrever a função de Euler
definida originalmente como
Vamos usar duas mudanças de variável nessa integral:
-
para chegar na forma com . -
para chegar na forma com .
Passo 2
Para obter
façamos a substituição
de modo que, quando
vai de
a
,
também vai de
a
. Na integral original temos
[
\int_{0}{\infty}e{-u},u^{z-1},du
\int_{0}{\infty}e{-t{2}},\bigl(t{2}\bigr)^{,z-1},2t,dt
2\int_{0}{\infty}e{-t{2}},t{2z-2},t,dt
2\int_{0}{\infty}e{-t{2}},t{2z-1},dt.
]
]
Passo 3
Para obter
use a mudança de variável
Quando
vai de
a
,
vai de
a
. Na integral original
substituímos
e
e
, obtendo
[
\int_{0}{\infty}e{-u},u^{z-1},du
\int_{1}^{0}t,[-\ln t]^{z-1},\bigl(-\tfrac{dt}{t}\bigr)
\int_{1}^{0}[-\ln t]^{z-1},dt
\int_{0}{1}\bigl[\ln(1/t)\bigr]{z-1},dt.
]
]