8.1.11 Mostre que
.
Essas integrais gaussianas são de extrema importância em mecânica estatística.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral gaussiana de
onde
é um inteiro não negativo e
. Para isso, vamos usar a substituição adequada para reduzir a um integral da função Gama
.
Passo 2
Fazendo a substituição
temos
Passo 3
Reconhecemos que
Portanto
Passo 4
Para a forma com double factorial usamos a identidade
Substituindo em cima,