8.1.11 Mostre que
.
Essas integrais gaussianas são de extrema importância em mecânica estatística.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral gaussiana de
integral0^infty x^2s expl(-a x^2r),dx
onde é um inteiro não negativo e . Para isso, vamos usar a substituição adequada para reduzir a um integral da função Gama .

Passo 2

Fazendo a substituição
t = a,x^2, x = raizta, dx = dt2raiza,t,
temos
integral0^infty x^2s e^-a x^2,dx = integral0^infty l(tfractar)^s e^-t dt2raiza,t = 12,a^s+tfrac12 integral0^infty t^,s-tfrac12e^-t,dt

Passo 3

Reconhecemos que
integral0^infty t^,s-tfrac12e^-t,dt = Gamma!l(s+tfrac12r) = l(s-tfrac12r)!
Portanto
integral0^infty x^2s e^-a x^2,dx = l(s-tfrac12r)!2,a^,s+tfrac12

Passo 4

Para a forma com double factorial usamos a identidade
Gamma!l(s+tfrac12r) = (2s-1)!!2^s,raizpi
Substituindo em cima,
integral0^infty x^2s e^-a x^2,dx = 12,a^s+tfrac12 ;(2s-1)!!2^s,raizpi = (2s-1)!!2^,s+1,a^s, raizpia

Resposta

integral0^infty x^2s e^-a x^2,dx = l(s-tfrac12r)!2,a^,s+tfrac12 = (2s-1)!!2^,s+1,a^s, raizpia

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