8.1.11 Mostre que
\int_{0}^{\infty} x^{2 s} \exp \left(-a x^{2}\right) d x=\frac{\left(s-\frac{1}{2}\right) !}{2 a^{s+1 / 2}}=\frac{(2 s-1) ! !}{2^{s+1} a^{s}} \sqrt{\frac{\pi}{a}}.
Essas integrais gaussianas são de extrema importância em mecânica estatística.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral gaussiana de
\int_{0}^{\infty} x^{2s} \exp\bigl(-a x^{2}\bigr)\,dx
onde s é um inteiro não negativo e a>0. Para isso, vamos usar a substituição adequada para reduzir a um integral da função Gama \Gamma.

Passo 2

Fazendo a substituição
t = a\,x^{2},\quad x = \sqrt{\frac{t}{a}},\quad dx = \frac{dt}{2\sqrt{a\,t}},
temos
\int_{0}^{\infty} x^{2s} e^{-a x^{2}}\,dx = \int_{0}^{\infty} \bigl(\tfrac{t}{a}\bigr)^{s} e^{-t} \frac{dt}{2\sqrt{a\,t}} = \frac{1}{2\,a^{s+\tfrac12}} \int_{0}^{\infty} t^{\,s-\tfrac12}e^{-t}\,dt.

Passo 3

Reconhecemos que
\int_{0}^{\infty} t^{\,s-\tfrac12}e^{-t}\,dt = \Gamma\!\bigl(s+\tfrac12\bigr) = \bigl(s-\tfrac12\bigr)!.
Portanto
\int_{0}^{\infty} x^{2s} e^{-a x^{2}}\,dx = \frac{\bigl(s-\tfrac12\bigr)!}{2\,a^{\,s+\tfrac12}}.

Passo 4

Para a forma com double factorial usamos a identidade
\Gamma\!\bigl(s+\tfrac12\bigr) = \frac{(2s-1)!!}{2^{s}}\,\sqrt{\pi}.
Substituindo em cima,
\int_{0}^{\infty} x^{2s} e^{-a x^{2}}\,dx = \frac{1}{2\,a^{s+\tfrac12}} \;\frac{(2s-1)!!}{2^{s}}\,\sqrt{\pi} = \frac{(2s-1)!!}{2^{\,s+1}\,a^{s}}\, \sqrt{\frac{\pi}{a}}.

Resposta

\int_{0}^{\infty} x^{2s} e^{-a x^{2}}\,dx = \frac{\bigl(s-\tfrac12\bigr)!}{2\,a^{\,s+\tfrac12}} = \frac{(2s-1)!!}{2^{\,s+1}\,a^{s}}\, \sqrt{\frac{\pi}{a}}.

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