Dentre 6 números positivos e 6 números negativos, de quantos modos podemos escolher quatro números cujo produto seja positivo?

Passo 1

O enunciado dá 6 números positivos e 6 números negativos e pede de quantos modos podemos escolher 4 deles de modo que o produto seja positivo. O conteúdo usado é combinatória de subconjuntos e a observação de que o produto de 4 números é positivo exatamente quando escolhemos um número par de negativos.

Passo 2

Para o produto ser positivo precisamos escolher k números negativos com k par, ou seja, kin0,2,4. Se escolhermos k negativos, escolheremos 4-k positivos. O número de maneiras em cada caso é
binom6kbinom64-k.

Passo 3

A soma sobre os casos k=0,2,4 é
binom60binom64;+;binom62binom62;+;binom64binom60

Passo 4

Calculando cada binomial:
binom60=1, binom62=15, binom64=15. Logo
1cdot15 ;+;15cdot15;+;15cdot1 ;=;15+225+15 ;=;255

Resposta

255

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