Se A e B são conjuntos e #A = n e #B = r, quantas funções f: A , injetoras, existem?
Solução
Sejam
Notemos que, se é injetora, então para todo .
Por outro lado, cada função vai ser definida por uma ênupla de imagens, em que todos os elementos da ênupla devem ser distintos, pois a função é injetora.
Por exemplo, uma das funções é definida pela ênupla de imagens.
Outra função é definida pela ênupla:
,
,
,
,
,
,
,
Logo, o número de funções é o número de arranjos dos elementos de , tomados a , isto é,
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos conjuntos e com e (e ), e queremos contar o número de funções que sejam injetoras. O conteúdo utilizado é o princípio multiplicativo e arranjos.
Passo 2
Como é injetora, os valores são todos diferentes. Assim, definir equivale a escolher uma ênupla de elementos distintos de .
Passo 3
Pelo princípio multiplicativo, há opções para , depois opções para , e assim sucessivamente até opções para . Logo, o número de funções é
Passo 4
Note que
que é justamente a fórmula de arranjos .
Resposta
Cálculo - Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 5: Combinatória e Probabilidade - 8ª Edição - Capítulo 1.Exercícios - Ex. 58