Se A e B são conjuntos e #A = n e #B = r, quantas funções f: A , injetoras, existem?

Solução

Sejam
Notemos que, se é injetora, então para todo .
Por outro lado, cada função vai ser definida por uma ênupla de imagens, em que todos os elementos da ênupla devem ser distintos, pois a função é injetora.
Por exemplo, uma das funções é definida pela ênupla de imagens.



Outra função é definida pela ênupla:
, , , , , , ,
Logo, o número de funções é o número de arranjos dos elementos de , tomados a , isto é,

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos conjuntos A e B com #A = n e #B = r (e 1<= n<= r), e queremos contar o número de funções fcolon Ato B que sejam injetoras. O conteúdo utilizado é o princípio multiplicativo e arranjos.

Passo 2

Como f é injetora, os valores f(a1), f(a2), dots, f(an) são todos diferentes. Assim, definir f equivale a escolher uma ênupla (f(a1),dots,f(an)) de elementos distintos de B.

Passo 3

Pelo princípio multiplicativo, há r opções para f(a1), depois r-1 opções para f(a2), e assim sucessivamente até r-(n-1) opções para f(an). Logo, o número de funções é
rcdot (r-1)cdot (r-2)cdots (r-n+1)

Passo 4

Note que
rcdot(r-1)cdots(r-n+1)=r!(r-n)!,
que é justamente a fórmula de arranjos Ar,n.

Resposta

r!(r-n)!

Exercícios de Livros Relacionados