A derivada de \sqrt{x^{2}-2 x+1}=f(g(x)), onde f(y)=\sqrt{y} e g(x)=x^{2}-2 x+1, é dada por
(a) \frac{1}{2 \sqrt{2 x-2}}
(b) \frac{2 x-2}{\sqrt{x^{2}-2 x+1}}
(c) \frac{x-1}{\sqrt{x^{2}-2 x+1}}
(d) \frac{1}{2 \sqrt{x^{2}-2 x+1}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de \sqrt{x^{2}-2x+1}, que foi escrita como composição f(g(x)) com
f(y)=\sqrt{y},
g(x)=x^{2}-2x+1.
Para resolver, vamos usar a regra da cadeia, que diz
\bigl(f(g(x))\bigr)'=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).

Passo 2

Calculamos a derivada de cada parte:
f'(y)=\frac{1}{2\sqrt{y}},
pois é a derivada de \sqrt{y}, e
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}-2x+1\bigr)=2x-2.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia, obtemos
\bigl(f(g(x))\bigr)' = f'\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{g(x)}}\,(2x-2) = \frac{2x-2}{2\sqrt{x^{2}-2x+1}}.

Passo 4

Agora simplificamos o fator 2 no numerador e no denominador:
\frac{2x-2}{2\sqrt{x^{2}-2x+1}} = \frac{x-1}{\sqrt{x^{2}-2x+1}}.

Resposta

(c) \frac{x-1}{\sqrt{x^{2}-2x+1}}

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