Como as derivadas estão relacionadas com as derivadas laterais?
Passo 1
O enunciado quer entender como a derivada usual de uma função em um ponto se relaciona com as chamadas derivadas laterais (ou unilaterais). O conteúdo aqui é cálculo diferencial, e vamos usar as definições de limite da diferença quociente para derivada.
Passo 2
Definimos a derivada de
em
como o limite central
desde que esse limite exista e seja finito. Esse limite central só existe se os dois limites laterais (direito e esquerdo) existirem e coinciderem.
Passo 3
As derivadas laterais são definidas separadamente por limites unilaterais:
Aqui
significa aproximação pela direita e
pela esquerda.
Passo 4
Por teoria de limites, o limite bilateral
existe se, e somente se, os dois limites unilaterais existirem e forem iguais. Ou seja, a existência de
exige que
existam e satisfaçam
Passo 5
Reciprocamente, se ambas as derivadas laterais existem e coincidem num mesmo valor
, então o limite bilateral existe e vale
. Logo,
Resposta
A derivada
existe se, e somente se, as derivadas laterais
e
existirem e forem iguais; nesse caso