Como as derivadas estão relacionadas com as derivadas laterais?

Passo 1

O enunciado quer entender como a derivada usual de uma função em um ponto se relaciona com as chamadas derivadas laterais (ou unilaterais). O conteúdo aqui é cálculo diferencial, e vamos usar as definições de limite da diferença quociente para derivada.

Passo 2

Definimos a derivada de f em a como o limite central
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},
desde que esse limite exista e seja finito. Esse limite central só existe se os dois limites laterais (direito e esquerdo) existirem e coinciderem.

Passo 3

As derivadas laterais são definidas separadamente por limites unilaterais:
f_{+}'(a)=\lim_{h\to0^{+}}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},
f_{-}'(a)=\lim_{h\to0^{-}}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Aqui h\to0^{+} significa aproximação pela direita e h\to0^{-} pela esquerda.

Passo 4

Por teoria de limites, o limite bilateral
\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
existe se, e somente se, os dois limites unilaterais existirem e forem iguais. Ou seja, a existência de f'(a) exige que
f_{+}'(a)\quad\text{e}\quad f_{-}'(a)
existam e satisfaçam
f_{+}'(a)=f_{-}'(a).

Passo 5

Reciprocamente, se ambas as derivadas laterais existem e coincidem num mesmo valor L, então o limite bilateral existe e vale L. Logo,
f'(a)=L=f_{+}'(a)=f_{-}'(a).

Resposta

A derivada f'(a) existe se, e somente se, as derivadas laterais f_{+}'(a) e f_{-}'(a) existirem e forem iguais; nesse caso
f'(a)=f_{+}'(a)=f_{-}'(a).

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