Derivar as fauções seguintes, estabelecendo as correspondentes fórmulas de integração:
(b) 11+tg x

Passo 1

O enunciado pede para diferenciarmos
f(x)=11+tan x
e, em seguida, estabelecermos a fórmula de integração
integral 11+tan x,dx
O conteúdo usado será a regra da cadeia para derivação e técnicas de simplificação trigonométrica e substituição para integração.

Passo 2

Calculemos f'(x). Escrevendo f(x)=(1+tan x)^-1 e aplicando a regra da cadeia:
f'(x) = -,(1+tan x)^-2,ddxl(tan xr) = -,(1+tan x)^-2,sec^2 x
Portanto,
f'(x)=-sec^2 xl(1+tan xr)^2

Passo 3

Para a integral, observe que
11+tan x =1dfracsin xcos x+1 =cos xsin x+cos x
Logo
integral 11+tan x,dx =integral cos xsin x+cos x,dx

Passo 4

Escrevemos
cos xsin x+cos x =12 +12, cos x-sin xsin x+cos x,
de modo que
integral cos xsin x+cos x,dx =12integral dx +12integralcos x-sin xsin x+cos x,dx
No segundo termo, use a substituição
u=sin x+cos x, du=(cos x-sin x),dx,
de onde
integralcos x-sin xsin x+cos x,dx =integralduu =lnlvert urvert + C1

Passo 5

Reunindo tudo,
integral 11+tan x,dx =12,x +12,lnllvert sin x+cos xrrvert + C

Resposta

f'(x)=-sec^2 xl(1+tan xr)^2, integral 11+tan x,dx =x2 +12lnllvert sin x+cos xrrvert + C

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