Derivar as fauções seguintes, estabelecendo as correspondentes fórmulas de integração:
(c) .
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
e, a partir dela, estabelecer as fórmulas de integração correspondentes. Vamos aplicar a regra do produto para derivar e depois inverter o processo para obter as integrais.
Passo 2
Usando a regra do produto,
sabendo que e , obtemos
Passo 3
Das derivadas de cada parcela extraímos as fórmulas de integração básicas:
e para integral x,sec^2 x,dx fazemos integração por partes definindo
u = x, dv = sec^2 x,dx
du = dx, v = integral sec^2 x,dx = tan x,
o que dá
integral x,sec^2 x,dx = x,tan x - integral tan x,dx = x,tan x + lnl|cos xr| + C2
Passo 4
Para fechar, integramos o somatório que é f'(x):
integrall(tan x + x,sec^2 xr)dx = integral tan x,dx ;+;integral x,sec^2 x,dx
= l(-lnlvertcos xrvertr) + l(xtan x + lnlvertcos xrvertr) + C = x,tan x + C
Resposta
A derivada é
f'(x)=tan x + x,sec^2 x
As integrais correspondentes são
integral tan x,dx = -lnl|cos xr| + C,
integral x,sec^2 x,dx = x,tan x + lnl|cos xr| + C,
integral x,tan x,dx = x,tan x + C
Cálculo - Richard Courant - Cálculo 1 - 1ª Edição - Capítulo 3.2 - Ex. 5.c