Derivar as fauções seguintes, estabelecendo as correspondentes fórmulas de integração:
(c) x tg x.

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=x,tan x
e, a partir dela, estabelecer as fórmulas de integração correspondentes. Vamos aplicar a regra do produto para derivar e depois inverter o processo para obter as integrais.

Passo 2

Usando a regra do produto,
f'(x)=ddx[x]cdottan x + xcdotddx[tan x]
sabendo que ddx[x]=1 e ddx[tan x]=sec^2 x, obtemos
f'(x)=tan x + x,sec^2 x

Passo 3

Das derivadas de cada parcela extraímos as fórmulas de integração básicas:
integral tan x,dx = -lnl|cos xr| + C1,
e para
integral x,sec^2 x,dx fazemos integração por partes definindo
u = x, dv = sec^2 x,dx
du = dx, v = integral sec^2 x,dx = tan x,
o que dá
integral x,sec^2 x,dx = x,tan x - integral tan x,dx = x,tan x + lnl|cos xr| + C2

Passo 4

Para fechar, integramos o somatório que é f'(x):
integrall(tan x + x,sec^2 xr)dx = integral tan x,dx ;+;integral x,sec^2 x,dx
= l(-lnlvertcos xrvertr) + l(xtan x + lnlvertcos xrvertr) + C = x,tan x + C

Resposta

A derivada é
f'(x)=tan x + x,sec^2 x
As integrais correspondentes são
integral tan x,dx = -lnl|cos xr| + C,
integral x,sec^2 x,dx = x,tan x + lnl|cos xr| + C,
integral x,tan x,dx = x,tan x + C

Exercícios de Livros Relacionados