5.10.7 Derive as seguintes séries assintóticas de números de Bernoulli para a constante de EulerMascheroni:
gamma=sums=1^n s^-1-ln n-12 n+sumk=1^N B2 k(2 k) n^2 k
Sugestão: Aplique a fórmula de integração de Euler-Maclaurin a f(x)=x^-1 sobre o intervalo [1, n] para N=1,2, ldots

Passo 1

O enunciado pede que a gente derive a expansão assintótica da constante de Euler–Mascheroni
gamma = sums=1^n1s -ln n -12n +sumk=1^NB2k2k,n^2k
usando a fórmula de Euler–Maclaurin para f(x)=x^-1 no intervalo [1,n].

Passo 2

A fórmula de Euler–Maclaurin diz
sums=1^nf(s) = integral1^nf(x),dx +f(1)+f(n)2 +sumk=1^NB2k(2k)!l(f^(2k-1)(n)-f^(2k-1)(1)r) +RN,

Passo 3

Para f(x)=x^-1:
integral1^nx^-1dx=ln n, f(1)+f(n)2 =1+tfrac1n2,
e
f^(m)(x) =(-1)^mm!,x^-m-1 ;Longrightarrow; f^(2k-1)(x) =-(2k-1)!,x^-2k
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f^(2k-1)(n)-f^(2k-1)(1) =-(2k-1)!l(n^-2k-1r) Longrightarrow B2k(2k)!l(f^(2k-1)(n)-f^(2k-1)(1)r) =-B2k2kl(n^-2k-1r)

Passo 4

Substituindo em Euler–Maclaurin:
sums=1^n1s = ln n +1+1/n2 -sumk=1^NB2k2kl(n^-2k-1r) +RN
Expandindo -sumk(n^-2k-1)= -sumkn^-2k+sumk1 e reorganizando,
sums=1^n1s = ln n +12 +12n -sumk=1^NB2k2k,n^-2k +sumk=1^NB2k2k +RN

Passo 5

Pela definição gamma=limntoinfty(sums=1^n1/s-ln n) e como limntoinftyRN=0, obtemos
gamma =12+sumk=1^NB2k2k
Voltando à expressão para soma finita e isolando gamma, chega-se a
sums=1^n1s-ln n =gamma+12n -sumk=1^NB2k2k,n^2k +RN,
de onde, desprezando o resto RN=O(n^-2N-1), vem a expansão desejada.

Resposta

gamma =sums=1^n1s-ln n -12n +sumk=1^NB2k2k,n^2k +Ol(n^-2N-1r)

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