5.10.7 Derive as seguintes séries assintóticas de números de Bernoulli para a constante de EulerMascheroni:
\gamma=\sum_{s=1}^{n} s^{-1}-\ln n-\frac{1}{2 n}+\sum_{k=1}^{N} \frac{B_{2 k}}{(2 k) n^{2 k}}
Sugestão: Aplique a fórmula de integração de Euler-Maclaurin a f(x)=x^{-1} sobre o intervalo [1, n] \operatorname{para} N=1,2, \ldots

Passo 1

O enunciado pede que a gente derive a expansão assintótica da constante de Euler–Mascheroni
\gamma = \sum_{s=1}^{n}\frac{1}{s} -\ln n -\frac{1}{2n} +\sum_{k=1}^{N}\frac{B_{2k}}{2k\,n^{2k}}
usando a fórmula de Euler–Maclaurin para f(x)=x^{-1} no intervalo [1,n].

Passo 2

A fórmula de Euler–Maclaurin diz
\sum_{s=1}^{n}f(s) = \int_{1}^{n}f(x)\,dx +\frac{f(1)+f(n)}{2} +\sum_{k=1}^{N}\frac{B_{2k}}{(2k)!}\bigl(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(1)\bigr) +R_{N}\,.

Passo 3

Para f(x)=x^{-1}:
\int_{1}^{n}x^{-1}dx=\ln n, \qquad \frac{f(1)+f(n)}{2} =\frac{1+\tfrac1n}{2},
e
f^{(m)}(x) =(-1)^{m}m!\,x^{-m-1} \;\Longrightarrow\; f^{(2k-1)}(x) =-(2k-1)!\,x^{-2k}.
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f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(1) =-(2k-1)!\bigl(n^{-2k}-1\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \frac{B_{2k}}{(2k)!}\bigl(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(1)\bigr) =-\frac{B_{2k}}{2k}\bigl(n^{-2k}-1\bigr).

Passo 4

Substituindo em Euler–Maclaurin:
\sum_{s=1}^{n}\frac1s = \ln n +\frac{1+1/n}{2} -\sum_{k=1}^{N}\frac{B_{2k}}{2k}\bigl(n^{-2k}-1\bigr) +R_{N}.
Expandindo -\sum_{k}(n^{-2k}-1)= -\sum_{k}n^{-2k}+\sum_{k}1 e reorganizando,
\sum_{s=1}^{n}\frac1s = \ln n +\frac12 +\frac{1}{2n} -\sum_{k=1}^{N}\frac{B_{2k}}{2k}\,n^{-2k} +\sum_{k=1}^{N}\frac{B_{2k}}{2k} +R_{N}.

Passo 5

Pela definição \gamma=\lim_{n\to\infty}(\sum_{s=1}^{n}1/s-\ln n) e como \lim_{n\to\infty}R_{N}=0, obtemos
\gamma =\frac12+\sum_{k=1}^{N}\frac{B_{2k}}{2k}.
Voltando à expressão para soma finita e isolando \gamma, chega-se a
\sum_{s=1}^{n}\frac1s-\ln n =\gamma+\frac1{2n} -\sum_{k=1}^{N}\frac{B_{2k}}{2k\,n^{2k}} +R_{N},
de onde, desprezando o resto R_{N}=O(n^{-2N-1}), vem a expansão desejada.

Resposta

\gamma =\sum_{s=1}^{n}\frac1s-\ln n -\frac1{2n} +\sum_{k=1}^{N}\frac{B_{2k}}{2k\,n^{2k}} +O\bigl(n^{-2N-1}\bigr).

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