5.10.7 Derive as seguintes séries assintóticas de números de Bernoulli para a constante de EulerMascheroni:
Sugestão: Aplique a fórmula de integração de Euler-Maclaurin a
sobre o intervalo
Passo 1
O enunciado pede que a gente derive a expansão assintótica da constante de Euler–Mascheroni
usando a fórmula de Euler–Maclaurin para
no intervalo
.
Passo 2
A fórmula de Euler–Maclaurin diz
Passo 3
Para
:
e
Logo
Passo 4
Substituindo em Euler–Maclaurin:
Expandindo
e reorganizando,
Passo 5
Pela definição
e como
, obtemos
Voltando à expressão para soma finita e isolando
, chega-se a
de onde, desprezando o resto
, vem a expansão desejada.