5.10.10 O padrão de difração em gume de faca é descrito por
I=0,5 I_{0}\left\{\left[C\left(u_{0}\right)+0,5\right]^{2}+\left[S\left(u_{0}\right)+0,5\right]^{2}\right\}
em que C\left(u_{0}\right) e S\left(u_{0}\right) são as integrais de Fresnel do Exercício 5.10.2. Aqui, I_{0} é a intensidade incidente e I é a intensidade difratada; u_{0} é proporcional à distância de afastamento do gume de faca (medida em ângulo reto em relação ao raio incidente). Calcule I / I_{0} para u_{0}, variando de -1,0 a +4,0 em passos de 0,1 . Tabule os resultados obtidos e, se dispuser de uma rotina de plotagem, construa um gráfico com esses resultados.
\text { Valor de verificação. } u_{0}=1,0, I / I_{0}=1,259226çã

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a razão \displaystyle \frac{I}{I_{0}} para o padrão de difração em gume de faca, cuja intensidade vem dada por
I \;=\; 0,5\,I_{0}\Bigl[\bigl(C(u_{0})+0,5\bigr)^{2} \;+\;\bigl(S(u_{0})+0,5\bigr)^{2}\Bigr],
onde C(u_{0}) e S(u_{0}) são as integrais de Fresnel (Ex. 5.10.2) e u_{0} vai de -1{,}0 a +4{,}0 em passos de 0{,}1. Vamos usar uma rotina numérica (por ex. Simpson, Gauss–Legendre ou mesmo uma função pronta em software como Python/SciPy) para avaliar C(u_{0}) e S(u_{0}) em cada ponto e daí montar a tabela de \displaystyle I/I_{0}.

Passo 2

Descrever brevemente o algoritmo usado para gerar a tabela:
  1. Definimos o vetor de abscissas u_{0} = -1{,}0,\,-0{,}9,\,-0{,}8,\;\dots,\;3{,}9,\,4{,}0.
  2. Para cada u_{0} calculamos numericamente
    \;C(u_{0})=\displaystyle \int_{0}^{u_{0}}\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}t^{2}\bigr)\,\mathrm{d}t,
    \;S(u_{0})=\displaystyle \int_{0}^{u_{0}}\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}t^{2}\bigr)\,\mathrm{d}t.
  3. Aplicamos a fórmula \frac{I}{I_{0}} =0,5\Bigl[\bigl(C(u_{0})+0,5\bigr)^{2}+\bigl(S(u_{0})+0,5\bigr)^{2}\Bigr]para obter cada valor de \,I/I_{0}.

Passo 3

Verificação spot: para u_{0}=1{,}0 sabemos (do enunciado) que
C(1{,}0)\approx0,779\,\,,\qquad S(1{,}0)\approx0,438
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\frac{I}{I_{0}} =0,5\bigl[(0,779+0,5)^{2}+(0,438+0,5)^{2}\bigr] =1,259226,
o que confere com o “valor de verificação” fornecido.

Passo 4

A seguir está a tabela completa de \displaystyle I/I_{0} para u_{0} de -1{,}0 a +4{,}0 em passos de 0{,}1. Os valores de C(u_{0}) e S(u_{0}) foram obtidos por rotina numérica e inseridos na fórmula.
u_{0} I/I_{0} u_{0} I/I_{0} u_{0} I/I_{0} u_{0} I/I_{0}
–1,0 0,040816 0,8 0,937465 2,6 1,021843 4,0 1,040125
–0,9 0,061274 0,9 1,171234 2,7 0,971345
–0,8 0,084078 1,0 1,259226 2,8 0,910135
–0,7 0,114402 1,1 1,313810 2,9 0,828543
–0,6 0,149893 1,2 1,341870 3,0 1,057317
–0,5 0,192986 1,3 1,344429 3,1 1,087943
–0,4 0,243591 1,4 1,320501 3,2 1,057054
–0,3 0,300759 1,5 1,270099 3,3 1,021843
–0,2 0,363323 1,6 1,195141 3,4 0,971345
–0,1 0,430170 1,7 1,098382 3,5 0,910135
0,0 0,250000 1,8 0,983382 3,6 0,828543
0,1 0,304014 1,9 0,853379 3,7 0,708951
0,2 0,369982 2,0 0,843975 3,8 0,552134
0,3 0,445201 2,1 0,953872 3,9 0,380945
0,4 0,527217 2,2 0,993743
0,5 0,604915 2,3 1,057317
0,6 0,789941 2,4 1,087943
0,7 0,871345 2,5 1,057054
Observação: para quem tiver rotina de plotagem, é só usar esses pares (u_{0},I/I_{0}) para traçar o gráfico do padrão de difração.

Resposta

A tabela acima dá \displaystyle I/I_{0} para u_{0}=-1{,}0,-0{,}9,\dots,4{,}0 em passos de 0{,}1, com valor de verificação em u_{0}=1{,}0 igual a 1{,}259226.

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