Desenhar os gráficos seruintes, escrevendo, também, as equaçũes em coordenadas cartesianas:
r=2 a sen^2 thetacos theta (Cissóide).

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a cissóide dada em coordenadas polares por
r = 2a,sen^2thetacostheta
e também encontrar sua equação em coordenadas cartesianas.
O conteúdo necessário é a relação entre coordenadas polares e cartesianas, ou seja
x = rcostheta, y = rsentheta, r^2 = x^2 + y^2

Passo 2

Usamos sentheta = tfracyr e costheta = tfracxr na expressão de r:
r = 2a,(tfracyr)^2,tfracxr, = 2a,y^2/r^2x/r = 2a,y^2r,x,
Multiplicando ambos os lados por r,x obtemos
r^2,x = 2a,y^2

Passo 3

Como r^2 = x^2 + y^2, substituímos e chegamos à forma cartesiana
(x^2 + y^2),x = 2a,y^2,
ou, de modo equivalente,
x^3 = y^2,(2a - x)

Passo 4

Para entender a forma do gráfico, podemos usar a parametrização em função de theta. Da relação polar temos
x = rcostheta = 2a,sen^2thetacosthetacostheta = 2a,sen^2theta,
y = rsentheta = 2a,sen^2thetacosthetasentheta = 2a,sen^3thetacostheta

Passo 5

Analisando as singularidades e tangentes:
  • Quando thetato0, temos xapprox2a,theta^2, yapprox2a,theta^3, isto é, um cúspide na origem.
  • O denominador costheta anula em theta=pmpi2, e então xto2a, ytopminfty: existe uma assíntota vertical em
x = 2a
  • A curva é simétrica em relação ao eixo x, pois y(,-theta)= -y(theta) e x(,-theta)=x(theta).

Passo 6

Desenho característico da cissóide de Diocles:
  • Cúspide na origem.
  • Duas ramificações, uma acima e outra abaixo do eixo x.
  • Ambas se aproximam verticalmente de x=2a.

Resposta

Equação cartesiana:
(x^2 + y^2),x = 2a,y^2
Gráfico: cúspide na origem, simétrico em relação ao eixo x, com assíntota vertical x=2a.

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