Estabelecer a equação das curvas cujo raio de curvatura é igual ao comprimento da normal, porém cujo centro de curvatura não se acha sôbre o eixo dos x. 153.* Deduzir a fórmula do comprimento de uma curva, em coordenadas polares.

Passo 1

O enunciado tem duas partes:
1. Achar as curvas y=y(x) tais que o raio de curvatura rho seja igual ao comprimento da normal até o eixo x, sabendo que o centro de curvatura não está sobre esse eixo.
2. Deduzir a fórmula do comprimento de uma curva em coordenadas polares r=r(theta).
Para a parte 1 vamos usar as fórmulas clássicas de geometria diferencial de curvas planas. Para a parte 2 faremos a mudança de variáveis cartesianas para polares e integraremos o elemento de arco.

Passo 2

Parte 1 – equacionando a condição rho= comprimento da normal.
O raio de curvatura de y=y(x) é
rho=l(1+(y')^2r)^3/2l|y''r|,
e o comprimento da normal do ponto (x,y) até o eixo x vale
N=l|yr|raiz1+(y')^2
A condição rho=N
l(1+(y')^2r)^3/2l|y''r| =l|yr|raiz1+(y')^2 Longrightarrow 1+(y')^2l|y''r|=|y|
Como o centro de curvatura não está sobre o eixo x, podemos tomar o sinal compatível e escrever
y''=1+(y')^2y

Passo 3

Parte 1 – resolução da EDO
Defina p=y'. Então y''=dp/dx. A EDO fica
dpdx=1+p^2y
Mas dp/dx=(dp/dy)(dy/dx)=p,dpdy. Logo
p,dpdy=1+p^2y Longrightarrow p1+p^2,dp=dyy
Integramos ambos os lados:
12lnl(1+p^2r)=ln|y|+C Longrightarrow 1+p^2=A,y^2,
onde A=e^2C>0. Assim
p^2=A,y^2-1 Longrightarrow dydx=pmraizA,y^2-1

Passo 4

Parte 1 – obtendo a solução em função de x
Separamos variáveis:
integraldyraizA,y^2-1 =pmintegral dx Longrightarrow 1raizAarccoshl(raizA,yr) =pm x + B
Elevando a hiperbólica e ajustando constantes, conseguimos
y=1raizAcoshl(raizA,(x-x0)r),
que é a família de catenárias.

Passo 5

Parte 2 – comprimento de arco em coordenadas polares
Em cartesianas temos o elemento de arco
ds=raizdx^2+dy^2
Como x=rcostheta e y=rsintheta,
dx=costheta,dr - rsintheta,dtheta, dy=sintheta,dr + rcostheta,dtheta
Substituindo:
ds =raiz(costheta,dr - rsintheta,dtheta)^2 +(sintheta,dr + rcostheta,dtheta)^2 =raizdr^2+r^2,dtheta^2

Passo 6

Parte 2 – fórmula final do comprimento
Para theta variando de alpha a beta, o comprimento total da curva r=r(theta) é
L=integralalpha^betads =integralalpha^betaraizl(drr)^2+r^2,dtheta^2 =integralalpha^betaraizl(r'(theta)r)^2+r(theta)^2;dtheta

Resposta

Família das curvas com rho igual ao comprimento da normal (centro não sobre o eixo x):
y=1acoshl(a,(x-x0)r),
onde a>0 e x0 é constante.
Fórmula do comprimento de curva em polares r=r(theta), thetain[alpha,beta]:
L=integralalpha^betaraizl(r'(theta)r)^2+r(theta)^2;dtheta

Exercícios de Livros Relacionados