Provar que lim x 0 x+2x+1=2. Determinar um de<a tal, que para |x|<de<a a diferença entre 2 e x+2x+1 seja, em valor absoluto, (a) menor do que 110; (b) menor do que 11000; (c) menor do que epsilon, epsilon>0.

Passo 1

O enunciado pede para provar que
limxto 0x+2x+1=2
usando a definição de limite (epsilon–delta). Depois, para cada caso, determinar um de<a>0 tal que, sempre que lvert xrvert<de<a, valha
llvertx+2x+1-2rrvert<(valor dado)
O conteúdo é a prova de limite por meio de inequações e a escolha de de<a.

Passo 2

Mostramos primeiro que x+2x+1to 2. Para isso calculamos
x+2x+1-2 =x+2-2(x+1)x+1 =-xx+1
Queremos llvert-xx+1rrvert<varepsilon. Note que, se impusermos
lvert xrvert<tfrac12, então
lvert x+1rvert>= 1-lvert xrvert>1-tfrac12=tfrac12,
logo
llvertxx+1rrvert =lvert xrvertlvert x+1rvert <lvert xrverttfrac12 =2,lvert xrvert
Para garantir 2,lvert xrvert<varepsilon basta pedir lvert xrvert<varepsilon/2. Portanto, escolhendo
de<a=minltfrac12,;varepsilon2r
temos que lvert xrvert<de<a implica llvertx+2x+1-2rrvert<varepsilon. Assim a prova do limite está feita.

Passo 3

Agora aplicamos esse critério para cada caso:
(a) Queremos
llvertx+2x+1-2rrvert<tfrac110.
Tomamos varepsilon=tfrac110, então
de<a=minltfrac12,;1/102r =minltfrac12,;tfrac120r =tfrac120
(b) Queremos
llvertx+2x+1-2rrvert<tfrac11000.
Tomamos varepsilon=tfrac11000, logo
de<a=minltfrac12,;1/10002r =minltfrac12,;tfrac12000r =tfrac12000

Passo 4

(c) Para dado varepsilon>0, conforme o passo 2, basta escolher
de<a=minltfrac12,;varepsilon2r
Então sempre que lvert xrvert<de<a teremos
llvertx+2x+1-2rrvert<varepsilon.

Resposta

(a) de<a=tfrac120.
(b) de<a=tfrac12000.
(c) de<a=minltfrac12,;tfracvarepsilon2r.

Exercícios de Livros Relacionados