Provar que
. Determinar um
tal, que para
diferença entre 2 e
seja, em valor absoluto, (a) menor do que
; (b) menor do que
; (c) menor do que
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que
usando a definição de limite (epsilon–delta). Depois, para cada caso, determinar um
tal que, sempre que
, valha
O conteúdo é a prova de limite por meio de inequações e a escolha de
de<a .
Passo 2
Mostramos primeiro que
x+2x+1to 2 . Para isso calculamos
Queremos
llvert-xx+1rrvert<varepsilon . Note que, se impusermos
lvert xrvert<tfrac12 , então
logo
Para garantir
2,lvert xrvert<varepsilon basta pedir
lvert xrvert<varepsilon/2 . Portanto, escolhendo
temos que
lvert xrvert<de<a implica
llvertx+2x+1-2rrvert<varepsilon . Assim a prova do limite está feita.
Passo 3
Agora aplicamos esse critério para cada caso:
(a) Queremos
llvertx+2x+1-2rrvert<tfrac110 .
Tomamosvarepsilon=tfrac110 , então
Tomamos
(b) Queremos
llvertx+2x+1-2rrvert<tfrac11000 .
Tomamosvarepsilon=tfrac11000 , logo
Tomamos
Passo 4
(c) Para dado
varepsilon>0 , conforme o passo 2, basta escolher
Então sempre que
lvert xrvert<de<a teremos
llvertx+2x+1-2rrvert<varepsilon .
Resposta
(a)
de<a=tfrac120 .
(b)de<a=tfrac12000 .
(c)de<a=minltfrac12,;tfracvarepsilon2r .
(b)
(c)