A quantidade
. definida por
é denominada a média harmônica das duas quantidades positivas
. Mostrar que a média geométrica niño é menor do que a harmônica, isto é. que
.
Quando se verifica a igualdade?
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas duas quantidades positivas
e
, a média geométrica
é maior ou igual à média harmônica
, definida por
Para isso vamos usar a desigualdade entre a média aritmética e a média geométrica (desigualdade AM–GM).
Passo 2
Primeiro escrevemos
em forma explícita. Da definição
segue
Passo 3
Queremos provar
Como
e
são positivos, podemos dividir ambos os lados por
sem mudar o sentido da desigualdade:
Passo 4
A desigualdade
é exatamente a desigualdade AM–GM para dois termos, que diz que a média aritmética
é maior ou igual à média geométrica
. Logo ela é verdadeira para todo
. Assim concluímos
Passo 5
A igualdade em AM–GM ocorre se, e somente se,
. Portanto, a nossa desigualdade
torna-se igualdade exatamente quando