A quantidade xi. definida por 1xi=12(1a+1b) é denominada a média harmônica das duas quantidades positivas a, b. Mostrar que a média geométrica niño é menor do que a harmônica, isto é. que raiza b >=q xi.
Quando se verifica a igualdade?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas duas quantidades positivas a e b, a média geométrica
raiza b
é maior ou igual à média harmônica xi, definida por
1xi=12l(1a+1br)
Para isso vamos usar a desigualdade entre a média aritmética e a média geométrica (desigualdade AM–GM).

Passo 2

Primeiro escrevemos xi em forma explícita. Da definição
1xi=12l(1a+1br)
segue
1xi=a+b2,a,b Longrightarrow xi=2,a,ba+b

Passo 3

Queremos provar
raiza b>=xi Long<=ftrightarrow raiza b>=2,a,ba+b
Como a e b são positivos, podemos dividir ambos os lados por raiza b sem mudar o sentido da desigualdade:
1 ;>=;2,raiza ba+b Long<=ftrightarrow a+b ;>=;2,raiza b

Passo 4

A desigualdade
a+b ;>=;2,raiza b
é exatamente a desigualdade AM–GM para dois termos, que diz que a média aritmética tfraca+b2 é maior ou igual à média geométrica raiza b. Logo ela é verdadeira para todo a,b>0. Assim concluímos
raiza b>=xi

Passo 5

A igualdade em AM–GM ocorre se, e somente se, a=b. Portanto, a nossa desigualdade raiza b>=xi torna-se igualdade exatamente quando
a=b

Resposta

raiza b>=xi, com igualdade se, e somente se, a=b.

Exercícios de Livros Relacionados