Desenhe a curva da função dada.
f(x)=x^{3}+3 x^{2}-2

Passo 1

O enunciado pede para desenhar (esboçar) a curva de
f(x)=x^{3}+3x^{2}-2.
O conteúdo aqui é esboço de gráfico de polinômio de grau 3. Vamos precisar de: domínio, interceptos com eixos, derivada para extremos, segunda derivada para inflexão e comportamento em x\to\pm\infty.

Passo 2

Como é um polinômio, o domínio é todo \mathbb{R}.
Para achar os zeros, resolvemos
x^{3}+3x^{2}-2=0.
Testando x=-1 obtemos -1+3-2=0, logo x=-1 é raiz. Fazendo divisão sintética por x+1, vem
x^{3}+3x^{2}-2=(x+1)(x^{2}+2x-2)
e as outras raízes são
x=\frac{-2\pm\sqrt{4+8}}{2}=-1\pm\sqrt{3}.

Passo 3

A derivada é
f'(x)=3x^{2}+6x=3x(x+2).
Portanto f'(x)=0 em x=0 e x=-2. Calculando
f(0)=-2,\quad f(-2)=(-8)+12-2=2,
vemos que em x=-2 há máximo local \bigl(-2,2\bigr) e em x=0 há mínimo local \bigl(0,-2\bigr).

Passo 4

A segunda derivada é
f''(x)=6x+6=6(x+1).
Então f''(x)=0 em x=-1, valor em que
f(-1)=-1+3-2=0.
Logo há ponto de inflexão em \bigl(-1,0\bigr). Para x<-1, f''(x)<0 (côncava para baixo) e para x>-1, f''(x)>0 (côncava para cima).

Passo 5

No comportamento para x\to\pm\infty:
\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.

Passo 6

Resumo de monotonicidade e concavidade:
  • Cresce em (-\infty,-2), decresce em (-2,0) e cresce em (0,\infty).
  • Côncava para baixo em (-\infty,-1) e para cima em (-1,\infty).

Passo 7

Com todos esses dados, esboçamos qualitativamente o gráfico de f.

Resposta

Esboço qualitativo do gráfico de f(x)=x^{3}+3x^{2}-2:
\begin{array}{r|l} f(x) & \\\ \uparrow & \\\\ 3 & \quad\text{* (crescente)} \\\ & \quad\text{* \leftarrow \text{máximo em } (-2,2)\right)} \\\\ 2 & \\\ & / \\\\ 1 & / \\\ & / \\\\ 0+ & *\text{--*--* \leftarrow \text{zeros em } x \approx -2,732; -1; 0,732\right)} \\\ & \backslash \\\\ -1 & \backslash \\\ & \backslash \\\\ -2 & \quad\text{* (mínimo em } (0,-2)\text{)} \\\ & \\\\ + & \longrightarrow x \\\ \hline -3 & -2 \quad -1 \quad 0 \quad 1 \quad 2 \\\ \end{array}
(as setas indicam que para x \to -\infty o gráfico vai a -\infty e para x \to +\infty vai a +\infty)

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