Desenhe a curva da função dada.
f(x)=3 x^{4}-4 x^{2}+3

Passo 1

O enunciado pede um esboço (gráfico) da função
f(x)=3x^{4}-4x^{2}+3.
Este é um polinômio de quarto grau, par (ou seja, simétrico em relação ao eixo y). Para esboçar a curva, precisamos:
  1. Encontrar domínio e interceptos.
  2. Calcular f'(x) para achar pontos críticos.
  3. Usar f''(x) para classificar máximos e mínimos.
  4. Avaliar o comportamento de f(x) quando x\to\pm\infty.

Passo 2

Domínio: todos os reais, pois é um polinômio.
Intercepto em y: basta x=0, logo
f(0)=3\quad\Rightarrow\quad(0,3).
Interceptos em x: resolver
3x^{4}-4x^{2}+3=0.
Fazendo u=x^{2}, obtém-se 3u^{2}-4u+3=0 com \Delta=-20<0. Logo, não há raízes reais em x: a curva nunca cruza o eixo x.

Passo 3

Derivada primeira:
f'(x)=12x^{3}-8x=4x\,(3x^{2}-2).
Zeram-se os fatores:
4x=0\\ \Rightarrow\\ x=0, \quad 3x^{2}-2=0\\ \Rightarrow\\ x=\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}}.

Passo 4

Derivada segunda:
f''(x)=36x^{2}-8.
Em x=0, f''(0)=-8<0 indica um ponto de máximo local.
Em x=\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}}, tem-se
f''\!\bigl(\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}}\bigr) =36\cdot\tfrac{2}{3}-8=24-8=16>0,
logo são mínimos locais.

Passo 5

Valores de f nos pontos críticos:
f(0)=3, \qquad f\!\bigl(\sqrt{\tfrac{2}{3}}\bigr) =3\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^{2}-4\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)+3 =\tfrac{4}{3}-\tfrac{8}{3}+3=\tfrac{5}{3}.
Pelos valores iguais, os mínimos são em \bigl(\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}},\,\tfrac{5}{3}\bigr).

Passo 6

Com x\to\pm\infty, o termo 3x^{4} domina e f(x)\to+\infty.
Portanto o esboço tem a forma de um “W” suave, simétrico em relação ao eixo y, subindo para +\infty nas pontas, com:
  • máximo local em (0,3),
  • dois mínimos locais idênticos em \bigl(\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}},\,\tfrac{5}{3}\bigr),
  • sem cruzar o eixo x.

Resposta

A curva de f(x)=3x^{4}-4x^{2}+3 é simétrica em y, tem máximo local em (0,3), mínimos locais em \bigl(\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}},\,\tfrac{5}{3}\bigr), não intercepta o eixo x e cresce para +\infty quando x\to\pm\infty.

Exercícios de Livros Relacionados