Desenhe a curva da função dada.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar a curva da função racional
O conteúdo envolve esboço de gráficos de funções racionais: precisamos encontrar domínio, assíntotas, interceptos e comportamento da função para depois traçar o hiperbolóide.
Passo 2
Determinar o domínio de
. A única restrição vem do denominador
, logo
Portanto o domínio é
Passo 3
Achar as assíntotas.
A assíntota vertical ocorre onde o denominador zera:
A assíntota vertical ocorre onde o denominador zera:
Para a assíntota horizontal calculamos
logo a assíntota horizontal é
.
Passo 4
Calcular interceptos com os eixos.
Para o intercepto em fazemos
:
Para o intercepto em
portanto o ponto
.
Intercepto em ocorre quando
, mas isso exigiria
, impossível. Não há intercepto em
.
Intercepto em
Passo 5
Estudar o sinal e a monotonicidade.
A derivada é
A derivada é
que é sempre negativa no domínio, logo
é estritamente decrescente em cada ramo.
Quanto ao sinal de :
Quanto ao sinal de
- Se
, isto é , então . - Se
, então e .
Passo 6
Analisar comportamento perto das assíntotas e no infinito para esboçar.
- Quando
, . - Quando
, . - Quando
, .
Juntando tudo obtemos dois ramos de hipérbole: um acima do eixopara decrescente de a , e outro abaixo para decrescente de a .
Resposta
A curva de
é um ramo de hipérbole com assíntota vertical
e assíntota horizontal
. Há um único ponto notável em
. O ramo direito (para
) está acima do eixo
e decresce de
até
, e o ramo esquerdo (para
) está abaixo do eixo
e decresce de
até
.