Desenhe a curva da função dada.
f(x)=\frac{1}{2 x+3}

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a curva da função racional
f(x)=\frac{1}{2x+3}
O conteúdo envolve esboço de gráficos de funções racionais: precisamos encontrar domínio, assíntotas, interceptos e comportamento da função para depois traçar o hiperbolóide.

Passo 2

Determinar o domínio de f. A única restrição vem do denominador 2x+3\neq0, logo
2x+3\neq0\implies x\neq-\tfrac{3}{2}.
Portanto o domínio é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq -\tfrac{3}{2}\}.

Passo 3

Achar as assíntotas.
A assíntota vertical ocorre onde o denominador zera:
x=-\tfrac{3}{2}.
Para a assíntota horizontal calculamos
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{2x+3}=0,
logo a assíntota horizontal é y=0.

Passo 4

Calcular interceptos com os eixos.
Para o intercepto em y fazemos x=0:
f(0)=\frac{1}{2\cdot0+3}=\frac{1}{3},
portanto o ponto (0,\tfrac13).
Intercepto em x ocorre quando f(x)=0, mas isso exigiria 1=0, impossível. Não há intercepto em x.

Passo 5

Estudar o sinal e a monotonicidade.
A derivada é
f'(x) = \frac{-2}{(2x+3)^2},
que é sempre negativa no domínio, logo f é estritamente decrescente em cada ramo.
Quanto ao sinal de f(x):
  • Se 2x+3>0, isto é x>-\tfrac32, então f(x)>0.
  • Se x<-\tfrac32, então 2x+3<0 e f(x)<0.

Passo 6

Analisar comportamento perto das assíntotas e no infinito para esboçar.
  • Quando x\to-\tfrac32^+, f(x)\to+\infty.
  • Quando x\to-\tfrac32^-, f(x)\to-\infty.
  • Quando x\to\pm\infty, f(x)\to0^+.
    Juntando tudo obtemos dois ramos de hipérbole: um acima do eixo x para x>-\tfrac32 decrescente de +\infty a 0, e outro abaixo para x<-\tfrac32 decrescente de 0 a -\infty.

Resposta

A curva de f(x)=\frac{1}{2x+3} é um ramo de hipérbole com assíntota vertical x=-\tfrac{3}{2} e assíntota horizontal y=0. Há um único ponto notável em \bigl(0,\tfrac13\bigr). O ramo direito (para x>-\tfrac32) está acima do eixo x e decresce de +\infty até 0, e o ramo esquerdo (para x<-\tfrac32) está abaixo do eixo x e decresce de 0 até -\infty.

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