Identifique as assíntotas verticais e horizontais da curva de cada função.
f(t)=\frac{t^{2}+3 t-5}{t^{2}-5 t+6}

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas verticais e horizontais da função
f(t)=\frac{t^{2}+3t-5}{t^{2}-5t+6}.
O conteúdo é análise de assíntotas de funções racionais. Para as verticais, vamos achar onde o denominador zera e verificar se há cancelamento com o numerador. Para a horizontal, vamos calcular o limite de f(t) quando t\to\pm\infty.

Passo 2

Fatoramos o denominador para encontrar potenciais assíntotas verticais:
t^{2}-5t+6=(t-2)(t-3).
Assim, o denominador anula em t=2 e em t=3. Agora checamos se o numerador também zera nesses pontos, o que indicaria um ponto de remoção em vez de assíntota. As raízes do numerador são
t^{2}+3t-5=0 \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{-3\pm\sqrt{29}}{2},
que não coincidem com 2 nem com 3. Logo não há cancelamento, e temos assíntotas verticais em
t=2 \quad\text{e}\quad t=3.

Passo 3

Para a assíntota horizontal, como numerador e denominador têm mesmo grau (2), o limite de f(t) em infinito é o quociente dos coeficientes principais:
\lim_{t\to\pm\infty}f(t) =\lim_{t\to\pm\infty}\frac{t^{2}+3t-5}{t^{2}-5t+6} =\frac{1}{1} =1.
Portanto, há uma assíntota horizontal em
y=1.

Resposta

Assíntotas verticais: t=2 e t=3.
Assíntota horizontal: y=1.

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