Desenhe um modelo para o sistema axiomático da geometria quatro pontos (Exemplo 1.16), em que uma “reta” é um segmento de reta, um “ponto” é uma extremidade de um segmento de reta e um ponto “está em” uma reta se for uma de suas extremidades.
Passo 1
O enunciado pede um modelo para a geometria de quatro pontos (Exemplo 1.16), cujos axiomas são:
- Dado qualquer par de pontos distintos, existe exatamente uma reta que os contém.
- Cada reta contém pelo menos dois pontos.
- Existem quatro pontos de modo que não haja reta que contenha três deles.
Vamos construir um modelo em que “pontos” são extremidades de segmentos e “retas” são esses segmentos, com incidência “está em” definida por “é extremidade de”.
Passo 2
Defina o conjunto de pontos
tomando estes quatro pontos em posição geral no plano (ou seja, sem três colineares).
Passo 3
Defina o conjunto de “retas” como todos os segmentos que unem cada par de pontos de
. Há exatamente
segmentos:
Passo 4
Defina a relação de incidência “
” por
Passo 5
Verifique os axiomas:
- Para quaisquer dois pontos distintos
e em existe exatamente o segmento . - Cada segmento
contém exatamente os pontos e , portanto pelo menos dois. - Como cada “reta” (segmento) tem só as suas duas extremidades, não há como três pontos de
ficarem numa mesma “reta”.
Logo este modelo satisfaz os três axiomas da geometria de quatro pontos.
Resposta
Coloque quatro pontos
em posição geral (por exemplo, vértices de um quadrilátero convexo) e ligue cada par por um segmento. Chame esses segmentos de “retas” e diga que um ponto “está em” uma reta exatamente quando é uma das suas extremidades.