Encontre um contraexemplo para cada sentença:
Para todo número real x, temos x^2 >= x.

Passo 1

O enunciado afirma que para todo número real x vale
x^2 >= x
Precisamos encontrar um valor de x que viole essa desigualdade, ou seja, um x tal que
x^2 < x

Passo 2

Para achar os x que satisfazem x^2 < x, transformamos em
x^2 - x < 0
e fatoramos:
x(x - 1) < 0
Uma desigualdade de produto é negativa quando os fatores têm sinais opostos, o que acontece exatamente para
0 < x < 1

Passo 3

Basta escolher qualquer x no intervalo (0,1). Por exemplo, para
x = 12
temos
l(tfrac12r)^2 = tfrac14 < tfrac12,
portanto essa escolha contradiz a afirmação original.

Resposta

Um contraexemplo é x = tfrac12, pois l(tfrac12r)^2 = tfrac14 < tfrac12.

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