Desenvolver em séries de Fourier, no intervalo ( -\pi, \pi ), as funções seguintes; determinar a soma das séries nos pontos de descontinuidade e nos extremos do intervalo ( x=-\pi, x=\pi ); construir o gráfico da própria função e da soma da série correspondente (dentro e fora do intervalo ( -\pi, \pi )): f(x)=\operatorname{sen} a x.
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de Fourier de
f(x)=\sin(a x)
no intervalo (-\pi,\pi). Depois devemos determinar a soma da série nos pontos de descontinuidade e em x=-\pi,x=\pi e desenhar o gráfico de f e da soma periódica da série.
Passo 2
Como \sin(ax) é função ímpar em (-\pi,\pi), a série de Fourier só terá termos de seno. O desenvolvimento geral é
Para x\in(-\pi,\pi), a série converge a \sin(ax) (função contínua). Nos pontos de descontinuidade da extensão periódica (em x=\pi+2k\pi e x=-\pi+2k\pi), o valor da série é a média dos limites lateral esquerdo e direito:
\frac{\sin(a\,\pi)+\sin(-a\,\pi)}{2}=0.
Em particular em x=\pm\pi a soma vale 0.
Passo 7
Gráfico dentro de (-\pi,\pi): traçar \sin(a x). Fora desse intervalo, a soma é o prolongamento periódico de período 2\pi, com possíveis saltos em x=\pm\pi+2k\pi.