Desenvolver em séries de Fourier, no intervalo ( -\pi, \pi ), as funções seguintes; determinar a soma das séries nos pontos de descontinuidade e nos extremos do intervalo ( x=-\pi, x=\pi ); construir o gráfico da própria função e da soma da série correspondente (dentro e fora do intervalo ( -\pi, \pi )):
f(x)=\operatorname{sen} a x.

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Fourier de
f(x)=\sin(a x)
no intervalo (-\pi,\pi). Depois devemos determinar a soma da série nos pontos de descontinuidade e em x=-\pi,x=\pi e desenhar o gráfico de f e da soma periódica da série.

Passo 2

Como \sin(ax) é função ímpar em (-\pi,\pi), a série de Fourier só terá termos de seno. O desenvolvimento geral é
\sin(a x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx),
com
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin(a x)\,\sin(n x)\,dx.

Passo 3

Usamos a fórmula do produto de senos:
\sin(a x)\sin(n x) =\tfrac12\bigl[\cos\bigl((a-n)x\bigr)-\cos\bigl((a+n)x\bigr)\bigr].
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\int_{-\pi}^{\pi}\sin(a x)\sin(n x)\,dx =\frac12\int_{-\pi}^{\pi}\cos((a-n)x)\,dx -\frac12\int_{-\pi}^{\pi}\cos((a+n)x)\,dx.
Cada integral de cosseno sobre um período vale
\int_{-\pi}^{\pi}\cos(kx)\,dx =\begin{cases} 2\pi,&k=0,\\\\ 0,&k\neq0. \end{cases}

Passo 4

No nosso caso k=a-n ou k=a+n, que só anula o cosseno se a=n ou a=-n. Assumindo a real e não necessariamente inteiro, usamos o valor geral
\int_{-\pi}^{\pi}\cos(kx)\,dx =\frac{\sin(k\pi)-\sin(-k\pi)}{k} =\frac{2\sin(k\pi)}{k}.
Aplicando a cada termo, obtém-se
\int_{-\pi}^{\pi}\sin(a x)\sin(n x)\,dx =\frac{\sin((a-n)\pi)}{2(a-n)}-\frac{\sin((a+n)\pi)}{2(a+n)}.
Como \sin((a\mp n)\pi)=(-1)^n\sin(a\pi), chega-se a
b_n =\frac{1}{\pi}\,\biggl[\frac{(-1)^{n+1}n\,\sin(\pi a)}{a^2-n^2}\biggr] =\frac{2a\,\sin(\pi a)}{\pi}\,\frac{(-1)^{n+1}n}{a^2-n^2}\;\frac12
(e ajustando o fator 2 que surge).

Passo 5

A série de Fourier final é
\boxed{ \sin(a x) =\frac{2a\,\sin(\pi a)}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\,n}{a^2-n^2}\,\sin(n x). }

Passo 6

Para x\in(-\pi,\pi), a série converge a \sin(ax) (função contínua). Nos pontos de descontinuidade da extensão periódica (em x=\pi+2k\pi e x=-\pi+2k\pi), o valor da série é a média dos limites lateral esquerdo e direito:
\frac{\sin(a\,\pi)+\sin(-a\,\pi)}{2}=0.
Em particular em x=\pm\pi a soma vale 0.

Passo 7

Gráfico dentro de (-\pi,\pi): traçar \sin(a x). Fora desse intervalo, a soma é o prolongamento periódico de período 2\pi, com possíveis saltos em x=\pm\pi+2k\pi.

Resposta

\sin(a x) =\frac{2a\,\sin(\pi a)}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\,n}{a^2-n^2}\,\sin(n x),
com soma igual a \sin(a x) para x\in(-\pi,\pi) e igual a 0 em x=\pm\pi (e nos pontos de descontinuidade periódica).

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