Desenvolver em séries de Fourier, no intervalo (
), as funções seguintes; determinar a soma das séries nos pontos de descontinuidade e nos extremos do intervalo (
); construir o gráfico da própria função e da soma da série correspondente (dentro e fora do intervalo (
)):
.
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de Fourier, no intervalo
, da função
além de determinar a que valor a série converge em pontos de descontinuidade e em
, e comparar o gráfico de
com o gráfico da soma da série (dentro e fora de
). O conteúdo aqui é desenvolvimento em séries de Fourier de uma função par.
Passo 2
Como
é função par, a série de Fourier em
não terá termos em seno e se escreve
Os coeficientes são
Passo 3
Cálculo de
:
Logo o termo constante é
Passo 4
Cálculo de
para
:
Usando a primitiva
avaliamos de
a
. Como
e
, fica
Assim
Passo 5
Portanto a série de Fourier é
Como a extensão periódica de período
de
tem descontinuidade em
, a série em tais pontos converge para o valor médio dos limites à direita e à esquerda. Em particular, em
temos
logo a soma da série em
é
Passo 6
Grafico:
- Para
, a soma coincide com , curva convexa mínima em . - Fora desse intervalo,
repete-se periodicamente de período , formando “arcos” de unidos por descontinuidades de salto nulo em .
Resposta
A série de Fourier de
em
é
Nos pontos de descontinuidade (em
, inclusive
) a soma da série é
. Dentro de
, a soma coincide com
, e fora ela se repete periodicamente com período
.