Desenvolver em séries de Fourier, no intervalo ( -\pi, \pi ), as funções seguintes; determinar a soma das séries nos pontos de descontinuidade e nos extremos do intervalo ( x=-\pi, x=\pi ); construir o gráfico da própria função e da soma da série correspondente (dentro e fora do intervalo ( -\pi, \pi )):
f(x)=\operatorname{cosh} a x.

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Fourier, no intervalo (-\pi,\pi), da função
f(x)=\operatorname{cosh}(a x),
além de determinar a que valor a série converge em pontos de descontinuidade e em x=-\pi,\pi, e comparar o gráfico de f com o gráfico da soma da série (dentro e fora de (-\pi,\pi)). O conteúdo aqui é desenvolvimento em séries de Fourier de uma função par.

Passo 2

Como \operatorname{cosh}(a x) é função par, a série de Fourier em (-\pi,\pi) não terá termos em seno e se escreve
\operatorname{cosh}(a x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx).
Os coeficientes são
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\operatorname{cosh}(a x)\,\mathrm{d}x, \quad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\operatorname{cosh}(a x)\cos(nx)\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Cálculo de a_0:
a_0 =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\operatorname{cosh}(a x)\,\mathrm{d}x =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\operatorname{cosh}(a x)\,\mathrm{d}x =\frac{2}{\pi}\,\frac{\operatorname{sinh}(a\pi)}{a} =\frac{2\,\operatorname{sinh}(a\pi)}{a\pi}.
Logo o termo constante é
\frac{a_0}{2}=\frac{\operatorname{sinh}(a\pi)}{a\pi}.

Passo 4

Cálculo de a_n para n\ge1:
a_n =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\operatorname{cosh}(a x)\cos(nx)\,\mathrm{d}x.
Usando a primitiva
\int\operatorname{cosh}(a x)\cos(nx)\,\mathrm{d}x =\frac{a\operatorname{sinh}(a x)\cos(nx)+n\operatorname{cosh}(a x)\sin(nx)}{a^2+n^2},
avaliamos de 0 a \pi. Como \sin(n\pi)=0 e \operatorname{sinh}(0)=0, fica
\int_{0}^{\pi}\operatorname{cosh}(a x)\cos(nx)\,\mathrm{d}x =\frac{a\,\operatorname{sinh}(a\pi)\cos(n\pi)}{a^2+n^2} =\frac{a\,\operatorname{sinh}(a\pi)(-1)^n}{a^2+n^2}.
Assim
a_n =\frac{2}{\pi}\,\frac{a\,\operatorname{sinh}(a\pi)(-1)^n}{a^2+n^2}.

Passo 5

Portanto a série de Fourier é
\boxed{ \operatorname{cosh}(a x) =\frac{\operatorname{sinh}(a\pi)}{a\pi} +\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2a\,\operatorname{sinh}(a\pi)(-1)^n}{\pi\,(a^2+n^2)}\, \cos(nx), \quad x\in(-\pi,\pi). }
Como a extensão periódica de período 2\pi de \operatorname{cosh}(a x) tem descontinuidade em x=(2k+1)\pi, a série em tais pontos converge para o valor médio dos limites à direita e à esquerda. Em particular, em x=\pm\pi temos
\lim_{x\to\pi^-}f(x)=\operatorname{cosh}(a\pi), \quad \lim_{x\to-\pi^+}f(x)=\operatorname{cosh}(a\pi),
logo a soma da série em x=\pm\pi é
S(\pm\pi)=\frac{\operatorname{cosh}(a\pi)+\operatorname{cosh}(a\pi)}{2}=\operatorname{cosh}(a\pi).

Passo 6

Grafico:
  • Para x\in(-\pi,\pi), a soma S(x) coincide com \operatorname{cosh}(a x), curva convexa mínima em x=0.
  • Fora desse intervalo, S(x) repete-se periodicamente de período 2\pi, formando “arcos” de \operatorname{cosh}(a x) unidos por descontinuidades de salto nulo em x=(2k+1)\pi.

Resposta

A série de Fourier de \operatorname{cosh}(a x) em (-\pi,\pi) é
\operatorname{cosh}(a x) =\frac{\operatorname{sinh}(a\pi)}{a\pi} +\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2a\,\operatorname{sinh}(a\pi)(-1)^n}{\pi\,(a^2+n^2)}\, \cos(nx).
Nos pontos de descontinuidade (em x=(2k+1)\pi, inclusive \pm\pi) a soma da série é \operatorname{cosh}(a\pi). Dentro de (-\pi,\pi), a soma coincide com \operatorname{cosh}(a x), e fora ela se repete periodicamente com período 2\pi.

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