Desenvolver em séries de Fourier, no intervalo (
), as funções seguintes; determinar a soma das séries nos pontos de descontinuidade e nos extremos do intervalo (
); construir o gráfico da própria função e da soma da série correspondente (dentro e fora do intervalo (
)):
.
Passo 1
O enunciado pede a série de Fourier da função
no intervalo
, considerando extensão periódica de período
. Precisamos:
- Reconhecer que
é par, logo só haverá termo constante e cossenos. - Calcular o coeficiente médio
e os coeficientes . - Escrever a série, determinar a soma nos pontos de descontinuidade e em
. - Descrever o gráfico da função periódica e da soma da série.
Passo 2
Como
é função par,
Na série, o termo constante é
.
Passo 3
Para
,
Fazendo integração por partes duas vezes, obtém-se
Logo
Passo 4
A série de Fourier de
em
é
Passo 5
A extensão periódica de
tem período
e é contínua em todos os pontos, inclusive em
(pois
). Portanto não há descontinuidade, e a soma da série coincide com
para todo
. Em especial,
Passo 6
Gráfico:
- Dentro de
, a soma da série é exatamente o parabola . - Fora desse intervalo, temos cópias periódicas de
de período , formando um “vale” parabólico repetido.
Resposta
com soma igual a
em todos os pontos; em
a soma vale
.