Desenvolver em séries de Fourier, no intervalo ( -\pi, \pi ), as funções seguintes; determinar a soma das séries nos pontos de descontinuidade e nos extremos do intervalo ( x=-\pi, x=\pi ); construir o gráfico da própria função e da soma da série correspondente (dentro e fora do intervalo ( -\pi, \pi )):
f(x)=x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier da função f(x)=x^2 no intervalo (-\pi,\pi), considerando extensão periódica de período 2\pi. Precisamos:
  1. Reconhecer que f é par, logo só haverá termo constante e cossenos.
  2. Calcular o coeficiente médio a_0 e os coeficientes a_n.
  3. Escrever a série, determinar a soma nos pontos de descontinuidade e em x=\pm\pi.
  4. Descrever o gráfico da função periódica e da soma da série.

Passo 2

Como f é função par,
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2\,dx =\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi^3}{3} =\frac{2\pi^2}{3}.
Na série, o termo constante é a_0/2=\pi^2/3.

Passo 3

Para n\ge1,
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\cos(nx)\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2\cos(nx)\,dx.
Fazendo integração por partes duas vezes, obtém-se
\int_{0}^{\pi}x^2\cos(nx)\,dx =2\pi\,\frac{(-1)^n}{n^2}.
Logo
a_n=\frac{2}{\pi}\cdot2\pi\,\frac{(-1)^n}{n^2} =\frac{4(-1)^n}{n^2}.

Passo 4

A série de Fourier de x^2 em (-\pi,\pi) é
x^2 =\frac{\pi^2}{3} +4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\cos(nx).

Passo 5

A extensão periódica de x^2 tem período 2\pi e é contínua em todos os pontos, inclusive em x=\pm\pi (pois (-\pi)^2=\pi^2). Portanto não há descontinuidade, e a soma da série coincide com f(x) para todo x. Em especial,
\text{soma em }x=\pm\pi =\pi^2.

Passo 6

Gráfico:
  • Dentro de (-\pi,\pi), a soma da série é exatamente o parabola y=x^2.
  • Fora desse intervalo, temos cópias periódicas de x^2 de período 2\pi, formando um “vale” parabólico repetido.

Resposta

x^2 =\frac{\pi^2}{3} +4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\cos(nx),
com soma igual a x^2 em todos os pontos; em x=\pm\pi a soma vale \pi^2.

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