Desenvolver em séries de Fourier, no intervalo ( -\pi, \pi ), as funções seguintes; determinar a soma das séries nos pontos de descontinuidade e nos extremos do intervalo ( x=-\pi, x=\pi ); construir o gráfico da própria função e da soma da série correspondente (dentro e fora do intervalo ( -\pi, \pi )):
f(x)=\cos a x.

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Fourier de f(x)=\cos(a x) no intervalo (-\pi,\pi), depois determinar a soma da série nos pontos de descontinuidade e em x=-\pi,\pi, e comparar o gráfico de f com o da soma (que será a extensão periódica de período 2\pi). Para isso vamos usar a fórmula dos coeficientes de Fourier:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx,\quad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx,\quad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.

Passo 2

Calcular a_0:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(a x)\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(a x)\,dx =\frac{2}{\pi}\Bigl[\frac{\sin(a x)}{a}\Bigr]_{0}^{\pi} =\frac{2}{\pi}\,\frac{\sin(a\pi)}{a}.
Logo
\frac{a_0}{2}=\frac{\sin(a\pi)}{a\pi}.

Passo 3

Calcular b_n e a_n. Primeiro
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(a x)\sin(nx)\,dx=0
porque \cos(a x)\sin(nx) é função ímpar em (-\pi,\pi).
Agora
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(a x)\cos(nx)\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(a x)\cos(nx)\,dx.
Usando a identidade \cos A\cos B=\tfrac12[\cos(A-B)+\cos(A+B)]:
\int_{0}^{\pi}\cos(a x)\cos(nx)\,dx =\frac12\int_{0}^{\pi}\bigl[\cos((a-n)x)+\cos((a+n)x)\bigr]dx
=\frac12\Bigl[\frac{\sin((a-n)x)}{a-n}+\frac{\sin((a+n)x)}{a+n}\Bigr]_{0}^{\pi} =\frac12\Bigl(\frac{\sin((a-n)\pi)}{a-n}+\frac{\sin((a+n)\pi)}{a+n}\Bigr).
Logo
a_n =\frac{2}{\pi}\cdot\frac12\Bigl(\frac{\sin((a-n)\pi)}{a-n}+\frac{\sin((a+n)\pi)}{a+n}\Bigr) =\frac{\sin((a-n)\pi)}{\pi(a-n)}+\frac{\sin((a+n)\pi)}{\pi(a+n)}.

Passo 4

Escrevemos então a série de Fourier:
\cos(a x)\sim \frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx) = \frac{\sin(a\pi)}{a\pi} +\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[ \frac{\sin((a-n)\pi)}{\pi(a-n)} +\frac{\sin((a+n)\pi)}{\pi(a+n)} \Bigr]\cos(nx).

Passo 5

A série converge para \tfrac{f(x+0)+f(x-0)}2. Como \cos(a x) é contínua em todo x\in\mathbb{R}, inclusive em x=\pm\pi (na extensão periódica \cos(a(-\pi))=\cos(-a\pi)=\cos(a\pi)), a soma é simplesmente
s(x)=\cos(a x) \quad \forall x\in\mathbb{R}.

Passo 6

Gráficos:
– A função original f(x)=\cos(a x) em (-\pi,\pi) é o cosseno usual, não-periódico se a\notin\mathbb{Z}.
– A soma da série s(x) é sua extensão periódica de período 2\pi, ou seja, repete o trecho \cos(a x) em cada intervalo [-\pi+2k\pi,\pi+2k\pi].
Em pontos de quebra (extremos) não há salto porque \cos(a\pi) coincide dos dois lados.

Resposta

\boxed{ \cos(a x) =\frac{\sin(a\pi)}{a\pi} +\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[ \frac{\sin((a-n)\pi)}{\pi(a-n)} +\frac{\sin((a+n)\pi)}{\pi(a+n)} \Bigr]\cos(nx), }
a série converge para s(x)=\cos(a x) em todo x, e o gráfico de s é a extensão periódica de período 2\pi de \cos(a x).

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