Desenvolver em séries de Fourier, no intervalo (
), as funções seguintes; determinar a soma das séries nos pontos de descontinuidade e nos extremos do intervalo (
); construir o gráfico da própria função e da soma da série correspondente (dentro e fora do intervalo (
)):
.
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de Fourier de
no intervalo
, depois determinar a soma da série nos pontos de descontinuidade e em
, e comparar o gráfico de
com o da soma (que será a extensão periódica de período
). Para isso vamos usar a fórmula dos coeficientes de Fourier:
Passo 2
Calcular
:
Logo
Passo 3
Calcular
e
. Primeiro
porque
é função ímpar em
.
Agora
Agora
Usando a identidade
:
Logo
Passo 4
Escrevemos então a série de Fourier:
Passo 5
A série converge para
. Como
é contínua em todo
, inclusive em
(na extensão periódica
), a soma é simplesmente
Passo 6
Gráficos:
– A função original em
é o cosseno usual, não-periódico se
.
– A soma da série é sua extensão periódica de período
, ou seja, repete o trecho
em cada intervalo
.
Em pontos de quebra (extremos) não há salto porque coincide dos dois lados.
– A função original
– A soma da série
Em pontos de quebra (extremos) não há salto porque
Resposta
a série converge para
em todo
, e o gráfico de
é a extensão periódica de período
de
.