No desenvolvimento de (x+y)^1000, qual o centésimo termo, se o desenvolvimento for feito em potências de expoentes decrescentes de x ?

Passo 1

O enunciado pede o centésimo termo do desenvolvimento de (x+y)^1000, listando-se os termos em potências de x de expoente decrescente. Vamos usar o Teorema do Binômio de Newton para escrever o termo geral.

Passo 2

Pelo Teorema de Newton, o termo geral do desenvolvimento de (x+y)^1000 é
Tk+1 ;=; binom1000k,x^1000-k,y^k,
onde k varia de 0 a 1000. Aqui T1 corresponde a k=0, T2 a k=1 e assim por diante.

Passo 3

Como queremos o centésimo termo, igualamos
k+1 = 100 Longrightarrow k = 99

Passo 4

Substituindo k=99 em Tk+1, obtemos:
  • expoente de x: 1000 - 99 = 901,
  • expoente de y: 99,
  • coeficiente binomial: binom100099.
Portanto
T100 =binom100099,x^901,y^99

Resposta

T100 = binom100099,x^901,y^99

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