Quais destas coleções de subconjuntos são partições de \{1,2,3,4,5,6\} ?
a) \{1,2\},\{2,3,4\},\{4,5,6\}
b) \{1\},,\{2,3,6\},\{4\},\{5\}
c) \{2,4,6\},\{1,3,5\}
d) \{1,4,5\},\{2,6\}

Passo 1

O enunciado pede para identificar quais coleções dadas de subconjuntos de \{1,2,3,4,5,6\} são partições desse conjunto. O conteúdo aqui é a definição de partição de um conjunto finito.

Passo 2

Uma partição de um conjunto X é uma coleção de subconjuntos não vazios tais que:
  1. São dois a dois disjuntos (ou seja, não compartilham elemento).
  2. A união de todos eles é exatamente X.

Passo 3

Analisando a coleção (a): \{1,2\},\\ \{2,3,4\},\\ \{4,5,6\}.
  • Essas partes não são disjuntas, pois o elemento 2 aparece em \{1,2\} e em \{2,3,4\}, e o elemento 4 aparece em \{2,3,4\} e em \{4,5,6\}.
    Logo, a) não é partição.

Passo 4

Analisando a coleção (b): \{1\},\\ \{2,3,6\},\\ \{4\},\\ \{5\}.
  • Nenhum subconjunto é vazio.
  • São todos disjuntos: nenhum número aparece em mais de um subconjunto.
  • A união é
\{1\}\,\cup\{2,3,6\}\,\cup\{4\}\,\cup\{5\} =\{1,2,3,4,5,6\}.
Portanto b) é partição.

Passo 5

Analisando a coleção (c): \{2,4,6\},\\ \{1,3,5\}.
  • Nenhum subconjunto é vazio.
  • São disjuntos e sua união é
\{2,4,6\}\,\cup\{1,3,5\} =\{1,2,3,4,5,6\}.
Logo c) é partição.

Passo 6

Analisando a coleção (d): \{1,4,5\},\\ \{2,6\}.
  • Embora sejam disjuntos e não vazios, a união é
\{1,4,5\}\,\cup\{2,6\} =\{1,2,4,5,6\},
que não inclui o elemento 3.
Portanto d) não é partição.

Resposta

b) e c)

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