Quais destas relações no conjunto de todas as funções de \mathbf{Z} para \mathbf{Z} são relações de equivalência? Determine as propriedades de uma relação de equivalência que faltam para as outras.
\{(f, g) \mid para algum C \in \mathbf{Z}, para todo x \in \mathbf{Z}, f(x)-g(x)=C\}

Passo 1

O enunciado define uma relação R no conjunto de todas as funções f\colon \mathbf{Z}\to\mathbf{Z} por
R \;=\;\{(f,g)\mid \exists C\in\mathbf{Z}\;\forall x\in\mathbf{Z}:\,f(x)-g(x)=C\}.
Pergunta-se se R é relação de equivalência, ou seja, se satisfaz reflexividade, simetria e transitividade.

Passo 2

Verificamos a reflexividade: para toda função f\colon \mathbf{Z}\to\mathbf{Z} temos
f(x)-f(x)=0
para todo x, e 0\in\mathbf{Z}. Logo \exists C=0 tal que f(x)-f(x)=C, isto é, (f,f)\in R. Portanto R é reflexiva.

Passo 3

Verificamos a simetria: suponha (f,g)\in R. Então \exists C\in\mathbf{Z} com
f(x)-g(x)=C\quad\forall x.
Basta tomar -C\in\mathbf{Z} para obter
g(x)-f(x)=-(f(x)-g(x))=-C,
logo (g,f)\in R. Assim R é simétrica.

Passo 4

Verificamos a transitividade: sejam (f,g)\in R e (g,h)\in R. Então existem C,D\in\mathbf{Z} tais que
f(x)-g(x)=C \quad\text{e}\quad g(x)-h(x)=D \quad\forall x.
Somando as duas igualdades vem
f(x)-h(x)=(f(x)-g(x))+(g(x)-h(x))=C+D,
com C+D\in\mathbf{Z}. Logo (f,h)\in R e R é transitiva.

Resposta

A relação
\{(f,g)\mid \exists C\in\mathbf{Z},\,\forall x\in\mathbf{Z}:\,f(x)-g(x)=C\}
é relação de equivalência, pois satisfaz reflexividade, simetria e transitividade.

Exercícios de Livros Relacionados