Quais destas relações no conjunto de todas as funções de
para
são relações de equivalência? Determine as propriedades de uma relação de equivalência que faltam para as outras.
para algum
, para todo
,
Passo 1
O enunciado define uma relação
no conjunto de todas as funções
por
Pergunta-se se
é relação de equivalência, ou seja, se satisfaz reflexividade, simetria e transitividade.
Passo 2
Verificamos a reflexividade: para toda função
temos
para todo
, e
. Logo
tal que
, isto é,
. Portanto
é reflexiva.
Passo 3
Verificamos a simetria: suponha
. Então
com
Basta tomar
para obter
logo
. Assim
é simétrica.
Passo 4
Verificamos a transitividade: sejam
e
. Então existem
tais que
Somando as duas igualdades vem
com
. Logo
e
é transitiva.
Resposta
A relação
é relação de equivalência, pois satisfaz reflexividade, simetria e transitividade.