Determinada árvore cresce a uma taxa constante, tendo alcançado 3 m passados 5 anos de seu plantio e atingido 7 m decorridos 13 anos do plantio.
a) Defina uma equação que forneça a altura da árvore em relação ao tempo transcorrido desde seu plantio.
b) Determine aproximadamente a altura da árvore quando foi plantada.
c) Determine em que ano (após o plantio) a árvore atingirá 15 m .

Passo 1

O enunciado descreve um crescimento a taxa constante, ou seja, a altura h(t) da árvore em função do tempo t é uma reta. Sabemos que em t=5 anos tem h=3 m e em t=13 anos tem h=7 m. Vamos ajustar uma função linear do tipo
h(t)=m,t+b
onde m é a taxa de crescimento (coeficiente angular) e b é a altura inicial (termo independente).

Passo 2

Calculamos a taxa de crescimento m usando os pontos (t1,h1)=(5,3) e (t2,h2)=(13,7):
m = h2 - h1t2 - t1 = 7 - 313 - 5 = 48 = 0,5

Passo 3

Para achar o termo independente b, usamos a equação h(t)=0,5,t+b em um dos pontos, por exemplo (5,3):
3 = 0,5 times 5 + b
3 = 2,5 + b
b = 3 - 2,5 = 0,5

Passo 4

Substituindo m=0,5 e b=0,5 obtemos a equação da altura em função do tempo:
h(t)=0,5,t + 0,5

Passo 5

A altura inicial (quando t=0) é
h(0)=0,5cdot0+0,5=0,5 m

Passo 6

Para achar t quando h(t)=15 m, resolvemos
0,5,t + 0,5 = 15
0,5,t = 14,5
t = 14,50,5 = 29 anos

Resposta

(a) h(t)=0,5cdot t+0,5.\n(b) h(0)=0,5 m\n(c) t=29 anos

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