Determinar os algarismos x e y de modo que o inteiro:
3262 x y seja divisível por 36 .

Passo 1

O enunciado pede para achar os dígitos x e y de modo que o número inteiro
3262xy
seja divisível por 36. Como 36 é 4cdot9, vamos exigir simultaneamente a divisibilidade por 4 e por 9.

Passo 2

Para a divisibilidade por 9, a soma dos algarismos deve ser múltiplo de 9. A soma dos dígitos é
3 + 2 + 6 + 2 + x + y = 13 + x + y
Logo, precisamos ter
13 + x + y equiv 0 pmod9
Como 13equiv4pmod9, isso é equivalente a
x + y equiv 5 pmod9
Como 0<= x,y<=9, os únicos totais possíveis no intervalo de 0 a 18 são
x + y = 5 ou x + y = 14

Passo 3

Para a divisibilidade por 4, basta que o número formado pelos dois últimos dígitos 10x+y seja múltiplo de 4:
10x + y equiv 0 pmod4

Passo 4

Analisando o caso x+y=5, listamos pares possíveis e verificamos 10x+ypmod4:
(0,5)to5equiv1, (1,4)to14equiv2, (2,3)to23equiv3,
(3,2)to32equiv0, (4,1)to41equiv1, (5,0)to50equiv2pmod4
Desses, só (x,y)=(3,2) torna 32 múltiplo de 4.

Passo 5

Analisando o caso x+y=14, temos, entre outras,
(5,9)to59equiv3, (6,8)to68equiv0, (7,7)to77equiv1,
(8,6)to86equiv2, (9,5)to95equiv3pmod4
Aqui só (x,y)=(6,8) faz 68 ser múltiplo de 4.

Resposta

Os dígitos possíveis são
(x,y)=(3,2)ou(x,y)=(6,8)

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