Determinar os algarismos
e
de modo que o inteiro:
34 xx 58 y seja divisível por 9 e por 11 .
34 xx 58 y seja divisível por 9 e por 11 .
Passo 1
O enunciado pede os dígitos
e
de modo que o inteiro de sete dígitos formado por
seja simultaneamente divisível por 9 e por 11.
Para isso, vamos usar duas regras clássicas:
Para isso, vamos usar duas regras clássicas:
- Divisibilidade por 11: a diferença entre a soma dos dígitos em posições ímpares e a soma dos dígitos em posições pares (contando da direita) deve ser múltiplo de 11.
- Divisibilidade por 9: a soma de todos os dígitos deve ser múltiplo de 9.
Passo 2
Na regra de 11, numeramos as posições da direita para a esquerda: posição 1 é
, posição 2 é
, posição 3 é
, posição 4 é um
, posição 5 é o outro
, posição 6 é
e posição 7 é
.
Então a soma dos dígitos em posições ímpares (1, 3, 5, 7) vale
Então a soma dos dígitos em posições ímpares (1, 3, 5, 7) vale
e a soma em posições pares (2, 4, 6) vale
A condição de divisibilidade por 11 é
Como
é um dígito entre 0 e 9, a única possibilidade é
Passo 3
Agora usamos a regra de 9: a soma de todos os dígitos deve ser múltiplo de 9. Essa soma é
Substituindo
, obtemos
Como
, isso dá
Multiplicando ambos os lados por
, inverso de
módulo
, vem
Como
é dígito, conclui-se