Determinar os algarismos x e y de modo que o inteiro:
34 xx 58 y seja divisível por 9 e por 11 .

Passo 1

O enunciado pede os dígitos x e y de modo que o inteiro de sete dígitos formado por 3,4,x,x,5,8,y seja simultaneamente divisível por 9 e por 11.
Para isso, vamos usar duas regras clássicas:
  1. Divisibilidade por 11: a diferença entre a soma dos dígitos em posições ímpares e a soma dos dígitos em posições pares (contando da direita) deve ser múltiplo de 11.
  2. Divisibilidade por 9: a soma de todos os dígitos deve ser múltiplo de 9.

Passo 2

Na regra de 11, numeramos as posições da direita para a esquerda: posição 1 é y, posição 2 é 8, posição 3 é 5, posição 4 é um x, posição 5 é o outro x, posição 6 é 4 e posição 7 é 3.
Então a soma dos dígitos em posições ímpares (1, 3, 5, 7) vale
Símpar = y + 5 + x + 3 = x + y + 8, í
e a soma em posições pares (2, 4, 6) vale
Spar = 8 + x + 4 = x + 12
A condição de divisibilidade por 11 é
Símpar - Spar = (x + y + 8) - (x + 12) = y - 4 equiv 0 pmod11 í
Como y é um dígito entre 0 e 9, a única possibilidade é
y = 4

Passo 3

Agora usamos a regra de 9: a soma de todos os dígitos deve ser múltiplo de 9. Essa soma é
3 + 4 + x + x + 5 + 8 + y = 20 + 2x + y
Substituindo y = 4, obtemos
20 + 2x + 4 = 24 + 2x equiv 0 pmod9
Como 24 equiv 6 pmod9, isso dá
2x + 6 equiv 0 pmod9 ;Longrightarrow; 2x equiv 3 pmod9
Multiplicando ambos os lados por 5, inverso de 2 módulo 9, vem
x equiv 5 cdot 3 = 15 equiv 6 pmod9
Como x é dígito, conclui-se
x = 6

Resposta

x = 6 e y = 4.

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