Determinar o comprimento do arco:
da curva r=a(theta^2-1).

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco de uma curva em coordenadas polares dada por
r = al(theta^2 - 1r)
O conteúdo é “comprimento de arco em coordenadas polares” e vamos precisar da fórmula
L = integraltheta1^theta2raizr^2 + l(drdthetar)^2,dtheta

Passo 2

Calcular a derivada de r em relação a theta.
r = a(theta^2 - 1) Longrightarrow drdtheta = 2atheta

Passo 3

Substituir r e tfracdrdtheta na fórmula do comprimento:
L = integraltheta1^theta2 raiz,l[a(theta^2-1)r]^2 + l(2athetar)^2;dtheta = integraltheta1^theta2 raiza^2l[(theta^2-1)^2 + 4theta^2r];dtheta

Passo 4

Simplificar o radicando:
(theta^2-1)^2 + 4theta^2 = theta^4 -2theta^2 +1 +4theta^2 = theta^4 +2theta^2 +1 = (theta^2+1)^2
Logo
L = integraltheta1^theta2 raiza^2,(theta^2+1)^2;dtheta = aintegraltheta1^theta2 (theta^2+1);dtheta

Passo 5

Integrar (theta^2+1):
integral (theta^2+1),dtheta = theta^33 + theta + C
Portanto o comprimento de arco entre theta=theta1 e theta=theta2 é
L = al[theta^33 + thetar]theta1^theta2 = al(theta2^33+theta2r) - al(theta1^33+theta1r)

Resposta

L = al[tfractheta^33 + thetar]theta1^theta2 = al(tfractheta2^33 + theta2 - tfractheta1^33 - theta1r)

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