Seja a equação de uma curva em coordenadas polares r=f(theta). Demonstrar que a curvatura é fornecida pela fórmula
onde k & =2 r^prime 2-r r^prime prime+r^2(r^prime 2+r^2)^3 / 2, r^prime & =d fd theta^prime, r^prime prime=d^2 fd theta^2

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar que, para uma curva dada em coordenadas polares por r=f(theta), a curvatura
k(theta)
é
k(theta) =2l(r'(theta)r)^2-r(theta),r''(theta)+l(r(theta)r)^2l[l(r'(theta)r)^2+l(r(theta)r)^2r]^3/2,
onde
r'(theta)=drdtheta, r''(theta)=d^2rdtheta^2
Para isso vamos parametrizar a curva em funções de theta no plano cartesiano e usar a fórmula de curvatura de curvas paramétricas:
k(theta) =x'(theta),y''(theta)-y'(theta),x''(theta)l[x'(theta)^2+y'(theta)^2r]^3/2

Passo 2

Parametrizamos em Cartesianas:
x(theta)=r(theta)costheta, y(theta)=r(theta)sintheta
Aplicando regra do produto, obtemos as primeiras derivadas:
x'(theta)=r'(theta)costheta - r(theta)sintheta,
y'(theta)=r'(theta)sintheta + r(theta)costheta

Passo 3

Derivando mais uma vez (produto e derivada de costheta,sintheta), vem
x''(theta) =r''(theta)costheta -2,r'(theta)sintheta -r(theta)costheta,
y''(theta) =r''(theta)sintheta +2,r'(theta)costheta -r(theta)sintheta

Passo 4

O numerador da curvatura é
N(theta)=x'(theta),y''(theta)-y'(theta),x''(theta)
Se expandirmos e agruparmos termos notamos que cancelam todos os produtos mistos em costhetasintheta e em r' r'', sobrando
N(theta) =2l(r'(theta)r)^2 - r(theta),r''(theta) +l(r(theta)r)^2

Passo 5

O denominador da curvatura é
D(theta)=l[x'(theta)^2+y'(theta)^2r]^3/2
Calculando
x'(theta)^2+y'(theta)^2 =l(r'(theta)r)^2l(cos^2theta+sin^2thetar) +l(r(theta)r)^2l(sin^2theta+cos^2thetar) =r'(theta)^2+r(theta)^2,
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D(theta)=l[r'(theta)^2+r(theta)^2r]^3/2

Resposta

k(theta) =2l(r'(theta)r)^2-r(theta),r''(theta)+l(r(theta)r)^2 l[r'(theta)^2+r(theta)^2r]^3/2

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