Seja a equação de uma curva em coordenadas polares
. Demonstrar que a curvatura é fornecida pela fórmula
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar que, para uma curva dada em coordenadas polares por
, a curvatura
é
onde
Para isso vamos parametrizar a curva em funções de
no plano cartesiano e usar a fórmula de curvatura de curvas paramétricas:
Passo 2
Parametrizamos em Cartesianas:
Aplicando regra do produto, obtemos as primeiras derivadas:
Passo 3
Derivando mais uma vez (produto e derivada de
), vem
Passo 4
O numerador da curvatura é
Se expandirmos e agruparmos termos notamos que cancelam todos os produtos mistos em
e em
, sobrando
Passo 5
O denominador da curvatura é
Calculando
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