Determinar a área da curva pedal do círculo relação ao ponto do eixo dos . Provar que tal área é mínima, quando coincide com a origem.
Passo 1
O enunciado pede a área da curva pedal do círculo (raio 1) relativa ao ponto do eixo , e depois mostrar que essa área é mínima quando . O conteúdo principal é usar parametrização do círculo, encontrar a parametrização da pedal (pé da perpendicular de ao tangente) e calcular a área por
Passo 2
Parametrizamos o círculo por
O vetor tangente (não unitário) é
O pé da perpendicular de no tangente em satisfaz
com tal que .
Passo 3
Impondo obtém-se . Logo
Assim definimos
Passo 4
Para a área usamos
Calculamos
Fazendo a álgebra (detalhada) chega-se a
Passo 5
Substituindo em :
Logo
A=12l(2pi + x0^2pir) =pi + pi,x0^22
Passo 6
A área obtida é
A(x0)=pil(1+x0^22r)
Como x0^2>=0, o mínimo de A ocorre exatamente em x0=0, e o valor mínimo é
Amin=A(0)=pi
Resposta
A(x0)=pil(1+tfracx0^22r), mínima para x0=0, com Amin=pi.
Cálculo - Richard Courant - Cálculo 1 - 1ª Edição - Capítulo 5.3 - Ex. 6