Determinar a área da curva pedal do círculo x^2+y^2=1 cm relação ao ponto P(x0, 0) do eixo dos x. Provar que tal área é mínima, quando P coincide com a origem.

Passo 1

O enunciado pede a área da curva pedal do círculo ;x^2+y^2=1; (raio 1) relativa ao ponto P=(x0,0) do eixo x, e depois mostrar que essa área é mínima quando x0=0. O conteúdo principal é usar parametrização do círculo, encontrar a parametrização da pedal (pé da perpendicular de P ao tangente) e calcular a área por
A=12integral0^2pil(x(theta),y'(theta)-y(theta),x'(theta)r),dtheta

Passo 2

Parametrizamos o círculo por
M(theta)=(costheta,;sintheta), thetain[0,2pi]
O vetor tangente (não unitário) é
T(theta)=M'(theta)=(-sintheta,;costheta)
O pé H(theta) da perpendicular de P=(x0,0) no tangente em M(theta) satisfaz
H(theta)=M(theta)+lambda, T(theta),
com lambda tal que l(P-H(theta)r)cdot T(theta)=0.

Passo 3

Impondo l(P-Hr)cdot T=0 obtém-se lambda=-x0sintheta. Logo
H(theta) = (costheta,sintheta) - x0sintheta,(-sintheta,costheta) =(costheta + x0sin^2theta,;sintheta - x0sinthetacostheta)
Assim definimos
x(theta)=costheta + x0sin^2theta, y(theta)=sintheta - x0sinthetacostheta

Passo 4

Para a área usamos
A=12integral0^2pil(x,y'-y,x'r),dtheta
Calculamos
x'(theta)=-sintheta +2x0sinthetacostheta, y'(theta)=costheta - x0cos2theta
Fazendo a álgebra (detalhada) chega-se a
x,y'-y,x'=1 - x0costheta + x0^2sin^2theta

Passo 5

Substituindo em A:
A =12integral0^2pil(1 - x0costheta + x0^2sin^2thetar),dtheta =12l[ underbraceintegral0^2pi1,dtheta2pi - x0underbraceintegral0^2picostheta,dtheta0 + x0^2underbraceintegral0^2pisin^2theta,dthetapi r]
Logo
A=12l(2pi + x0^2pir) =pi + pi,x0^22

Passo 6

A área obtida é
A(x0)=pil(1+x0^22r)
Como x0^2>=0, o mínimo de A ocorre exatamente em x0=0, e o valor mínimo é
Amin=A(0)=pi

Resposta

A(x0)=pil(1+tfracx0^22r), mínima para x0=0, com Amin=pi.

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