Determinar o comprimento do arco:
da espiral logarítmica r=e^m theta.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da espiral logarítmica definida em coordenadas polares por
r = e^mtheta,
num intervalo thetain[theta1,theta2]. O conteúdo é o cálculo de comprimento de curva em coordenadas polares, usando a fórmula apropriada.

Passo 2

Em coordenadas polares, se a curva é dada por r=r(theta), o comprimento de arco de theta=theta1 até theta=theta2 é
L = integraltheta1^theta2 raiz,r(theta)^2 + l(r'(theta)r)^2,;dtheta

Passo 3

Para r(theta)=e^mtheta temos
r'(theta) = ddthetal(e^mthetar) = m,e^mtheta

Passo 4

Substituindo em L:
raizr^2 + (r')^2 = raizl(e^mthetar)^2 + l(m,e^mthetar)^2 = e^mtheta,raiz1 + m^2
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L = integraltheta1^theta2 e^mtheta,raiz1+m^2;dtheta = raiz1+m^2;integraltheta1^theta2 e^mtheta;dtheta

Passo 5

A integral de e^mtheta é tfrac1me^mtheta. Portanto
L = raiz1+m^2;gl[1me^mthetagr]theta1^theta2 = raiz1+m^2m,l(e^mtheta2 - e^mtheta1r)

Resposta

L = raiz1+m^2m,l(e^mtheta2 - e^mtheta1r)

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