Determinar as equações das curvas cujos centros de curvatura se achan no cixo dos
, e cujos raios de curvatura têm o comprimento igual à normal.
Passo 1
O enunciado pede as curvas tais que
- os centros de curvatura ficam sobre o eixo
, e - o raio de curvatura é igual ao comprimento da normal do ponto de curva até o eixo
.
Para resolver, vamos usar (i) a fórmula do raio de curvatura de uma curva
, (ii) a expressão do comprimento da normal até o eixo
e (iii) as coordenadas do centro de curvatura.
Passo 2
Se
, a derivada é
e a segunda derivada é
.
O raio de curvatura assinado é
O raio de curvatura assinado é
A normal em
tem equação
. Seu ponto de interseção com o eixo
é
e o comprimento assinado da normal de
a
vale
Passo 3
Igualamos o raio de curvatura ao comprimento da normal (sinais compatíveis):
Passo 4
Para resolver
escrevemos
. Assim
Integrando,
onde
.
Passo 5
Da relação
temos
Integramos:
Resposta
A família geral de curvas é dada pelas circunferências de centro no eixo
:
onde
são constantes arbitrárias.