Determinar as equações das curvas cujos centros de curvatura se achan no cixo dos x, e cujos raios de curvatura têm o comprimento igual à normal.

Passo 1

O enunciado pede as curvas tais que
  1. os centros de curvatura ficam sobre o eixo x, e
  2. o raio de curvatura é igual ao comprimento da normal do ponto de curva até o eixo x.
Para resolver, vamos usar (i) a fórmula do raio de curvatura de uma curva y=y(x), (ii) a expressão do comprimento da normal até o eixo x e (iii) as coordenadas do centro de curvatura.

Passo 2

Se y=y(x), a derivada é y'=p e a segunda derivada é y''.
O raio de curvatura assinado é
rho = (1+p^2)^3/2y'',
A normal em P=(x,y) tem equação y - y0 = -tfrac1p(x - x0). Seu ponto de interseção com o eixo x é
PN=(,x + y,p,;0),
e o comprimento assinado da normal de P a PN vale
N = -,y,raiz1+p^2,

Passo 3

Igualamos o raio de curvatura ao comprimento da normal (sinais compatíveis):
(1+p^2)^3/2y'' ;=;-,y,raiz1+p^2 Longrightarrow y'' ;=;-,1+p^2y,

Passo 4

Para resolver
y'' = d pdx = -,1+p^2y,
escrevemos dpdx=p,dpdy. Assim
pdpdy = -1+p^2y Longrightarrow p1+p^2,dp = -1y,dy
Integrando,
12lnl(1+p^2r) = -ln|y| + C1 Longrightarrow 1+p^2 = Ky^2,
onde K=e^2C1>0.

Passo 5

Da relação 1+p^2=K/y^2 temos
p = dydx = pmraizKy^2-1 Longrightarrow dxdy = pmyraizK-y^2
Integramos:
x + C2 = mpraiz,K - y^2, Longrightarrow (x + C2)^2 + y^2 = K

Resposta

A família geral de curvas é dada pelas circunferências de centro no eixo x:
(x - a)^2 + y^2 = R^2,
onde a,R são constantes arbitrárias.

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