Quais as curvas cuja tangente tem o comprimento constante P (O “comstimento” da tangente é o segmento compreendido entre a curva e o eixo dos x.) 219. Determinar a curva ortogonal à família .
Passo 1
Questão 218 pede as curvas tais que o comprimento do segmento de reta tangente desde um ponto da curva até o eixo seja constante igual a . Vai dar origem a uma equação diferencial que relaciona e .
Questão 219 pede as trajetórias ortogonais à família
isto é, as curvas que cortam em ângulo reto cada membro dessa família.
Passo 2
Para a Q218, escrevemos a reta tangente em :
Seu intercepto com ocorre em
O comprimento do segmento de a é
Impondo e, sem perda, assumindo e , obtemos
Passo 3
Tomando a raiz positiva para ligar com ,
Integramos ambos os lados:
Passo 4
A integral no é clássica. Um resultado conhecido é
Logo a solução implícita da Q218 é
Passo 5
Para a Q219, começo da família dada:
A inclinação das ortogonais deve satisfazer
Passo 6
Separo variáveis:
dydx = -1k,y Longrightarrow k,y,dy + dx = 0 Longrightarrow integral k,y,dy + integral dx = 0