1. Quais as curvas cuja tangente tem o comprimento constante a P (O “comstimento” da tangente é o segmento compreendido entre a curva e o eixo dos x.) 219. Determinar a curva ortogonal à família y=c e^k x.

Passo 1

Questão 218 pede as curvas tais que o comprimento do segmento de reta tangente desde um ponto (x,y) da curva até o eixo x seja constante igual a a. Vai dar origem a uma equação diferencial que relaciona y e y'.
Questão 219 pede as trajetórias ortogonais à família
y = c,e^k x,
isto é, as curvas que cortam em ângulo reto cada membro dessa família.

Passo 2

Para a Q218, escrevemos a reta tangente em (x,y):
Y - y = y',(X - x)
Seu intercepto com Y=0 ocorre em
0 - y = y',(Xrm i-x) Longrightarrow Xrm i = x - yy'
O comprimento do segmento de (x,y) a l(Xrm i,0r) é
L = raizl(x - Xrm ir)^2 + y^2 = raizl(tfracyy'r)^2 + y^2 = yraiz1 + y'^2lvert y'rvert
Impondo L=a e, sem perda, assumindo y>0 e y'>0, obtemos
yraiz1 + y'^2y' = a Longrightarrow y^2(1 + y'^2) = a^2y'^2 Longrightarrow y'^2 = y^2a^2 - y^2

Passo 3

Tomando a raiz positiva para ligar com y'>0,
dydx = yraiza^2 - y^2 Longrightarrow dx = raiza^2-y^2y,dy
Integramos ambos os lados:
integral dx = integral raiza^2-y^2y,dy

Passo 4

A integral no y é clássica. Um resultado conhecido é
integral raiza^2-y^2y,dy = raiza^2-y^2 + a ln!l(ya + raiza^2-y^2r) + const
Logo a solução implícita da Q218 é
boxed raiza^2-y^2 + a ln!l(ya + raiza^2-y^2r) = x + C

Passo 5

Para a Q219, começo da família dada:
y = c,e^k x Longrightarrow y' = k,y
A inclinação das ortogonais deve satisfazer
dydxl|rm ort = -1y' = -1k,y

Passo 6

Separo variáveis:
dydx = -1k,y Longrightarrow k,y,dy + dx = 0 Longrightarrow integral k,y,dy + integral dx = 0
Longrightarrow k2,y^2 + x = C1

Passo 7

A família de ortogonais fica, em forma implícita,
boxed x + k2,y^2 = C1

Resposta

(218) raiza^2-y^2+aln!l(ya+raiza^2-y^2r)=x+C
(219) x+tfrack2y^2=C1

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