• Demonstrar o teorema de Abel:
Se Sigma anu X^nu convergir, Sigma anu x^nu convergirá uniformemente para 0 <=q x <=q X.

Passo 1

O enunciado pede para provar o seguinte teorema de Abel em séries de potências:
Se
sumnu=0^inftyanuX^nu
converge (em x=X), então a série
sumnu=0^inftyanux^nu
converge uniformemente para x em [0,X].
Usaremos o truque de mudança de variável e a transformação de Abel (soma por partes) para verificar o critério de Cauchy uniforme.

Passo 2

Definimos
t=xX, 0<= t<=1,
e
bnu=anuX^nu
Então a série original fica
sumnu=0^inftyanux^nu =sumnu=0^inftybnut^nu
Como sum bnu=sum anuX^nu converge, seus somatórios parciais
Bn=sumnu=0^nbnu
têm limite finito
Binfty e, em particular, existe M>0 tal que
lvert Bnrvert<= M para todo n.

Passo 3

Aplicamos a soma por partes (transformação de Abel) ao trecho da série de índice n+1 até m>n:
sumnu=n+1^mbnut^nu = Bm,t^m-Bn,t^n+1 +sumnu=n+1^m-1Bnul(t^nu-t^nu+1r)
Como lvert Bnurvert<= M e 0<= t^nu-t^nu+1<=1, estimamos
llvertsumnu=n+1^mbnut^nurrvert <= M,t^m+M,t^n+1 +Msumnu=n+1^m-1l(t^nu-t^nu+1r) =2M,t^,n+1

Passo 4

Vamos mostrar que para todo varepsilon>0 existe N tal que, para m>n>= N e todo tin[0,1],
llvertsumnu=n+1^mbnut^nurrvert<varepsilon.
Escolha um de<ain(0,1) tal que
2M,(1-de<a)^N+1<varepsilon
para N suficientemente grande (isso sempre é possível porque (1-de<a)^n+1to0).
Além disso, como Bnto Binfty, podemos tomar N grande o bastante para garantir
lvert Binfty-Bnrvert<varepsilon e lvert Binfty-Bmrvert<varepsilon
sempre que n,m>= N.

Passo 5

Dividimos o intervalo de t em dois casos:
  1. Se 0<= t<=1-de<a, então pela estimativa de Abel
    llvertsumnu=n+1^mbnut^nurrvert<=2M,t^,n+1<=2M,(1-de<a)^n+1<varepsilon
  2. Se 1-de<a<t<=1, então usamos o fato de que t^nu<=1 e obtemos
    llvertsumnu=n+1^mbnut^nurrvert <=llvertsumnu=n+1^mbnurrvert =lvert Bm-Bnrvert <=lvert Bm-Binftyrvert+lvert Binfty-Bnrvert <2varepsilon
Escolhendo N grande para satisfazer ambas as condições, garantimos que em qualquer caso
lvertsumnu=n+1^mbnut^nurvert<2varepsilon.

Passo 6

Acabámos de mostrar que para dado varepsilon>0 existe N tal que, sempre que m>n>= N e todo tin[0,1],
lvert Sm(t)-Sn(t)rvert<2varepsilon. Isso é o critério de Cauchy uniforme, logo
sum bnut^nu converge uniformemente em [0,1]. Voltando a x=X,t, concluímos que
sumnu=0^inftyanux^nu converge uniformemente em [0,X].

Resposta

A série sumnu=0^inftyanux^nu converge uniformemente para 0<= x<= X.

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