O enunciado pede para provar o seguinte teorema de Abel em séries de potências:
Se
converge (em ), então a série
converge uniformemente para em .
Usaremos o truque de mudança de variável e a transformação de Abel (soma por partes) para verificar o critério de Cauchy uniforme.
Passo 2
Definimos
e
Então a série original fica
Como converge, seus somatórios parciais
têm limite finito e, em particular, existe tal que para todo .
Passo 3
Aplicamos a soma por partes (transformação de Abel) ao trecho da série de índice até :
Como e , estimamos
Passo 4
Vamos mostrar que para todo varepsilon>0 existe N tal que, para m>n>= N e todo tin[0,1], llvertsumnu=n+1^mbnut^nurrvert<varepsilon.
Escolha um de<ain(0,1) tal que
2M,(1-de<a)^N+1<varepsilon
para N suficientemente grande (isso sempre é possível porque (1-de<a)^n+1to0).
Além disso, como Bnto Binfty, podemos tomar N grande o bastante para garantir
lvert Binfty-Bnrvert<varepsilon e lvert Binfty-Bmrvert<varepsilon
Escolhendo N grande para satisfazer ambas as condições, garantimos que em qualquer caso lvertsumnu=n+1^mbnut^nurvert<2varepsilon.
Passo 6
Acabámos de mostrar que para dado varepsilon>0 existe N tal que, sempre que m>n>= N e todo tin[0,1], lvert Sm(t)-Sn(t)rvert<2varepsilon. Isso é o critério de Cauchy uniforme, logo sum bnut^nu converge uniformemente em [0,1]. Voltando a x=X,t, concluímos que sumnu=0^inftyanux^nu converge uniformemente em [0,X].
Resposta
A série sumnu=0^inftyanux^nu converge uniformemente para 0<= x<= X.
Cálculo - Richard Courant - Cálculo 1 - 1ª Edição - Capítulo Exemplos Diversos.Exemplos Diversos - Ex. 206