Deduzir as séries de Taylor das seguintes funções, na vizinhança de x=0 :
Sh^-1 x.

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor (Maclaurin) de Sh^-1x em torno de x=0. Para isso vamos usar que
  1. ddxSh^-1x=1raiz1+x^2.
  2. Expandir (1+x^2)^-1/2 pela série binomial e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Usamos a expansão binomial com alpha=-tfrac12 e u=x^2:
(1+x^2)^-1/2 =sumn=0^inftybinom-tfrac12nx^2n,
onde
binom-tfrac12n =(-1)^n(2n)!4^n,(n!)^2
Logo,
1raiz1+x^2 =sumn=0^infty(-1)^n(2n)!4^n,(n!)^2,x^2n

Passo 3

Integramos de 0 a x termo a termo:
Sh^-1x =integral0^x1raiz1+t^2,dt =sumn=0^infty(-1)^n(2n)!4^n,(n!)^2,x^2n+12n+1

Passo 4

Portanto, a série de Maclaurin de Sh^-1x é
Sh^-1x =sumn=0^infty(-1)^n (2n)!(2n+1),4^n,(n!)^2;x^2n+1,
válida para lvert xrvert<1.
Os primeiros termos são
x -x^36 +3x^540 -5x^7112 +cdots

Resposta

Sh^-1x =sumn=0^infty(-1)^n (2n)!(2n+1),4^n,(n!)^2;x^2n+1, |x|<1

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