Determinar o inteiro cujo produto de todos os seus divisores é igual a
.
Passo 1
O enunciado pede um inteiro
cujo produto de todos os seus divisores seja
O conteúdo que vamos usar é a teoria de divisores: se
tem
divisores, então o produto de todos eles vale
Passo 2
Suponha que
onde
são inteiros. Nesse caso, o número de divisores é
Pela fórmula do produto de divisores temos
Isso deve ser igual a
.
Passo 3
Comparando os expoentes de
e
obtemos o sistema
Multiplicando ambas por 2, defina
. Então
Dividindo as duas equações aparece
logo
e
para algum inteiro
.
Passo 4
De
temos
isto é
Os divisores positivos de 20 são
. Testando cada
, só
satisfaz
Assim
,
,
.
Passo 5
Portanto
Resposta
16875