Determinar o inteiro cujo produto de todos os seus divisores é igual a 3^30 times 5^40.

Passo 1

O enunciado pede um inteiro n cujo produto de todos os seus divisores seja
3^30times5^40
O conteúdo que vamos usar é a teoria de divisores: se n>0 tem d(n) divisores, então o produto de todos eles vale
proddmid nd ;=; n^d(n)2

Passo 2

Suponha que
n = 3^a,5^b,
onde a,b>=0 são inteiros. Nesse caso, o número de divisores é
d(n) = (a+1)(b+1)
Pela fórmula do produto de divisores temos
proddmid nd ;=; n^(a+1)(b+1)2 ;=;(3^a5^b)^(a+1)(b+1)2 ;=;3^a(a+1)(b+1)2;5^b(a+1)(b+1)2
Isso deve ser igual a 3^305^40.

Passo 3

Comparando os expoentes de 3 e 5 obtemos o sistema
a,(a+1)(b+1)2 = 30, b,(a+1)(b+1)2 = 40
Multiplicando ambas por 2, defina D=(a+1)(b+1). Então
a,D = 60, b,D = 80
Dividindo as duas equações aparece
ab = 6080 = 34,
logo a=3k e b=4k para algum inteiro k>0.

Passo 4

De a,D=60 temos
(3k)l[(3k+1)(4k+1)r] = 60,
isto é
k,(3k+1)(4k+1)=20
Os divisores positivos de 20 são 1,2,4,5,10,20. Testando cada k, só k=1 satisfaz
1cdot(3cdot1+1),(4cdot1+1) =1cdot4cdot5=20
Assim k=1, a=3, b=4.

Passo 5

Portanto
n = 3^3;5^4 = 27;times625 = 16875

Resposta

16875

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