Determinar o inteiro n=2^x 3^y, sabendo que o número de divisores de n^2 é o triplo do número de divisores de n.

Passo 1

O enunciado define
n = 2^x cdot 3^y
e pede x,yinZ>=0 tais que o número de divisores de n^2 seja o triplo do número de divisores de n. Vamos usar a função divisor tau.

Passo 2

Para um inteiro na forma n=2^x3^y vale
tau(n) = (x+1)(y+1),
pois tau(p^k)=k+1 para primo p. Analogamente,
tau(n^2) = (2x+1)(2y+1)

Passo 3

A condição do enunciado é
tau(n^2) = 3,tau(n),
ou seja
(2x+1)(2y+1) = 3,(x+1)(y+1)

Passo 4

Expandindo e reorganizando:
4xy + 2x + 2y + 1 = 3xy + 3x + 3y + 3 Longrightarrow xy - x - y -2 = 0
Somando 1 em ambos os lados:
xy - x - y +1 = 3 Long<=ftrightarrow (x-1)(y-1) = 3

Passo 5

Os divisores de 3 em Z são pm1,pm3, mas como x,y>=0 só aceitamos
x-1 = 1,;y-1 = 3 Longrightarrow (x,y)=(2,4),
x-1 = 3,;y-1 = 1 Longrightarrow (x,y)=(4,2)
Logo há duas soluções.

Resposta

n = 2^4cdot3^2 = 144
n = 2^2cdot3^4 = 324

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