Determinar o inteiro n=2^x 3^y 5^z, sabendo que dividido por 12, por 18 e por 90 perde, respectivamente, 24, 27 e 30 dos seus divisores.

Passo 1

O enunciado pede um inteiro da forma
n = 2^x 3^y 5^z
que, ao ser dividido por 12, por 18 e por 90, perde respectivamente 24, 27 e 30 de seus divisores.
O conteúdo principal é a função “número de divisores” tau(n), que para
n = 2^x3^y5^z
vale
tau(n) = (x+1)(y+1)(z+1)

Passo 2

Como 12=2^23^1, 18=2^13^2 e 90=2^13^25^1, temos:
taul(n/12r)=(x-2+1)(y-1+1)(z+1)=(x-1),y,(z+1),
taul(n/18r)=(x-1+1)(y-2+1)(z+1)=x,(y-1),(z+1),
taul(n/90r)=(x-1+1)(y-2+1)(z-1+1)=x,(y-1),z

Passo 3

As perdas de divisores dão o sistema
tau(n)-tau(n/12)=24, tau(n)-tau(n/18)=27, tau(n)-tau(n/90)=30
Chamando A=z+1 e tau(n)=(x+1)(y+1)A, as duas primeiras equações viram
Al[(x+1)(y+1)-(x-1)yr]=24Longrightarrow A,(x+2y+1)=24,
Al[(x+1)(y+1)-x(y-1)r]=27Longrightarrow A,(2x+y+1)=27
Da terceira equação, escreve-se
(x+1)(y+1)A - x(y-1)(A-1)=30
e, usando A(2x+y+1)=27, obtém-se
27 + x(y-1)=30 Longrightarrow x(y-1)=3

Passo 4

De x(y-1)=3 e x,y>=1 segue x=3 e y-1=1, logo y=2.
Em A,(2x+y+1)=27 temos 2cdot3+2+1=9, então
A=279=3 Longrightarrow z+1=3 Longrightarrow z=2

Resposta

n = 2^3cdot3^2cdot5^2 = 1800

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