Determinar x, y, z no número 33 x y 49 z para que seja múltiplo de 693.

Passo 1

O enunciado pede os dígitos x,y,z de modo que o número de sete dígitos
33,x,y,49,z
seja múltiplo de 693. O conteúdo principal é divisibilidade em aritmética: como
693 = 9 times 7 times 11
e esses fatores são primos entre si, basta garantir divisibilidade por 9, por 11 e por 7.

Passo 2

Critério de divisibilidade por 9: a soma dos dígitos deve ser múltipla de 9. Aqui
3 + 3 + x + y + 4 + 9 + z = 19 + x + y + z
deve ser congruente a 0 módulo 9. Logo
19 + x + y + z equiv 0 pmod9 Longrightarrow x + y + z equiv -19 equiv 8 pmod9
Como 0<= x,y,z<=9, isso significa
x + y + z in 8,,17,,26

Passo 3

Critério de divisibilidade por 11: a diferença entre a soma dos dígitos em posições ímpares e em posições pares deve ser múltipla de 11. Numerando da esquerda para a direita:
posições ímpares 1,3,5,7 contêm 3,x,4,z, soma Srm imp = 3 + x + 4 + z = 7 + x + z;
posições pares 2,4,6 contêm 3,y,9, soma Srm par = 3 + y + 9 = 12 + y.
Logo
Srm imp - Srm par = (7 + x + z) - (12 + y) = x + z - y - 5
deve ser congruente a 0 módulo 11. Assim
x + z - y equiv 5 pmod11

Passo 4

Resolvendo simultaneamente
x + y + z = S, x + z - y equiv 5pmod11,
para cada Sin8,17,26. Dessas três somas, apenas S=17 gera soluções viáveis de dígitos. Nesse caso, escrevendo y=17-(x+z) e impondo
(x + z) - l(17-(x+z)r) = 2(x+z)-17 equiv 5 pmod11,
chegamos ao caso exato
2(x+z)-17 = 5 Longrightarrow x + z = 11, y = 17 - 11 = 6
Logo todas as soluções candidatas têm a forma
x+z = 11, y = 6,
isto é, (x,z)in(2,9),(3,8),(4,7),(5,6),(6,5),(7,4),(8,3),(9,2).

Passo 5

Só resta garantir divisibilidade por 7. Testando cada número
33,x,6,49,z
para (x,z) acima, verifica-se que apenas
(x,z)=(4,7)
faz
33,4,6,49,7 = 3,346,497
divisível por 7. Como ele também satisfaz as condições de 9 e 11, é múltiplo de 693.

Resposta

x=4, y=6, z=7.

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