Determinar os algarismos x e y de modo que o inteiro:
1234 x y seja divisível por 72 .

Passo 1

O enunciado pede para achar os dígitos x e y tais que o número inteiro
1234 x y seja divisível por 72. Como
72 = 8 times 9,
vamos usar os critérios de divisibilidade por 9 (soma dos dígitos) e por 8 (últimos três dígitos).

Passo 2

Critério de divisibilidade por 9: a soma dos dígitos de 1234 x y deve ser múltipla de 9. A soma é
1 + 2 + 3 + 4 + x + y = 10 + x + y,
logo exigimos
10 + x + y equiv 0 pmod9,
ou seja
x + y equiv 8 pmod9
Como x,y são dígitos, x+y pode ser 8 ou 17.

Passo 3

Critério de divisibilidade por 8: os últimos três dígitos formam o número 4 x y, que deve ser múltiplo de 8. Como
400 equiv 0 pmod8,
basta ter
10x + y equiv 0 pmod8
Em módulo 8 isso vira
2x + y equiv 0 pmod8

Passo 4

Agora resolvemos simultaneamente:
  • Se x + y = 8, então y = 8 - x. Substituindo em 2x + y equiv 0 pmod8 2x + (8 - x) equiv 0 pmod8 Longrightarrow x + 8 equiv 0 pmod8 Longrightarrow x equiv 0 pmod8, logo x=0 ou x=8. Para x=0 vem y=8; para x=8 vem y=0. Ambos são dígitos válidos.
  • Se x + y = 17, então y = 17 - x. Substituindo em 2x + y equiv 0 pmod8 obtém-se x equiv 7 pmod8, ou seja x=7, mas daí y=10 não é dígito. Logo essa opção é descartada.

Passo 5

Ficamos com duas soluções possíveis:
;(x,y)=(0,8) ou (x,y)=(8,0). Em cada caso verifica-se que 123408 e 123480 são múltiplos de 8 ( 408div 8=51, 480div 8=60) e que a soma dos dígitos é 18, múltiplo de 9.

Resposta

As soluções são
(x,y) = (0,8) e (x,y) = (8,0).

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