Determinar os quatro primeiros têrmos que não se anulam das séries de Taylor das seguintes funções, na vizinlança de x=0 :
x cotg x.

Passo 1

O enunciado pede os quatro primeiros termos não nulos da série de Taylor (Maclaurin) de
f(x)=xcot x
em torno de x=0.
Conteúdo: expansão em série de Maclaurin, vamos usar as séries de sin x e cos x e obter primeiro a de cot x=cos xsin x, depois multiplicar por x.

Passo 2

Escrevemos as séries conhecidas até ordem x^7 em sin x e até x^6 em cos x:
sin x = x - x^36 + x^5120 - x^75040 + O(x^9),
cos x = 1 - x^22 + x^424 - x^6720 + O(x^8)

Passo 3

Fazemos o ansatz
cot x = Ax + Bx + Cx^3 + Dx^5 + O(x^7)
e impomos sin xcdotcot x=cos x. Igualando coeficientes de potências de x em
l(x - tfracx^36 + tfracx^5120 - tfracx^75040+dotsr)l(tfracAx+Bx+Cx^3+Dx^5+dotsr) =1 - tfracx^22 + tfracx^424 - tfracx^6720+dots
obtemos o sistema
A = 1, -tfracA6+B = -tfrac12, tfracA120-tfracB6+C = tfrac124, -tfracA5040+tfracB120-tfracC6+D = -tfrac1720,
cuja solução é
A=1, B=-tfrac13, C=-tfrac145, D=-tfrac2945

Passo 4

Logo
cot x = 1x - x3 - x^345 - 2x^5945 + O(x^7),
e multiplicando por x obtemos
xcot x = 1 - x^23 - x^445 - 2x^6945 + O(x^8)

Resposta

Os quatro primeiros termos não nulos são
1 ;-;x^23;-;x^445;-;2x^6945,

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