• Suponhamos que se obteve o seguinte desenvolvimento em série da função f(x)
f(x)=au+a1 x+a2 x^2+ldots+aa x^n+Ra(x)
onde a0, a1, ldots, an são constantes, RL(x) é derivável contìnuamente n vêzes, e xrightarrowR1(x) 0 quando x 0. Mostrar que a1=f^k(0)b!,(k=0, ldots, n), isto é, que o de x^a senvolvimento obtido é uma série de Taylor.

Passo 1

Resumindo, temos uma função f que admite o desenvolvimento em série
f(x)=a0+a1x+a2x^2+cdots+anx^n+Rn(x),
onde a0,a1,dots,an são constantes, o resto Rn(x) é n-vezes continuamente diferenciável e satisfaz
limxto0Rn(x)x^n=0
Queremos mostrar que, para cada k=0,1,dots,n,
ak=f^(k)(0)k!,
isto é, que esse desenvolvimento é precisamente a série de Taylor de f em torno de 0.

Passo 2

Primeiro provamos que, se Rn(x)=o(x^n) quando xto0 e Rn é n-vezes continuamente diferenciável, então
Rn^(k)(0)=0 para todo k=0,1,dots,n-1
De fato, como
limxto0Rn(x)x^n=0,
aplicando repetidamente a regra de L’Hôpital k vezes temos
limxto0Rn^(k)(x)n(n-1)cdots(n-k+1),x^,n-k =0,
e como Rn^(k) é contínua em 0, segue que Rn^(k)(0)=0.

Passo 3

Agora derivamos termo a termo a série de f(x) k vezes. Para 1<= k<= n obtemos
f^(k)(x) = ak,k! + ak+1,(k+1)!1!,x + ak+2,(k+2)!2!,x^2 +cdots + an,n!(n-k)!,x^,n-k + Rn^(k)(x)

Passo 4

Basta avaliar essa expressão em x=0. Os termos que envolvem x, x^2,dots desaparecem em 0, e do Passo 2 temos Rn^(k)(0)=0. Logo
f^(k)(0)=ak,k!,
e portanto
ak=f^(k)(0)k!,
para todo k=0,1,dots,n, exatamente como queríamos.

Resposta

Para todo k=0,1,dots,n vale
ak=f^(k)(0)k!

Exercícios de Livros Relacionados