Suponhamos que se obteve o seguinte desenvolvimento em série da função
onde são constantes, é derivável contìnuamente vêzes, e quando x 0. Mostrar que a1=f^k(0)b!,(k=0, ldots, n), isto é, que o dex^a senvolvimento obtido é uma série de Taylor.
Passo 1
Resumindo, temos uma função f que admite o desenvolvimento em série
f(x)=a0+a1x+a2x^2+cdots+anx^n+Rn(x),
onde a0,a1,dots,an são constantes, o resto Rn(x) é n-vezes continuamente diferenciável e satisfaz
limxto0Rn(x)x^n=0
Queremos mostrar que, para cada k=0,1,dots,n,
ak=f^(k)(0)k!,
isto é, que esse desenvolvimento é precisamente a série de Taylor de f em torno de 0.
Passo 2
Primeiro provamos que, se Rn(x)=o(x^n) quando xto0 e Rn é n-vezes continuamente diferenciável, então
Rn^(k)(0)=0 para todo k=0,1,dots,n-1
De fato, como limxto0Rn(x)x^n=0,
aplicando repetidamente a regra de L’Hôpital k vezes temos
limxto0Rn^(k)(x)n(n-1)cdots(n-k+1),x^,n-k =0,
e como Rn^(k) é contínua em 0, segue que Rn^(k)(0)=0.
Passo 3
Agora derivamos termo a termo a série de f(x) k vezes. Para 1<= k<= n obtemos