Provar que lim x 1 x+2x+1=32. Determinar um de<a tal, que para |1-x|<de<a, a diferença entre 32 e x+2x+1 seja menor do que epsilon(epsilon>0), em valor absoluto. Fazer o mesmo
Provar que lim x 1 x+2x+1=32. Determinar um de<a tal, que para |1-x|<de<a, a diferença entre 32 e x+2x+1 seja menor do que epsilon(epsilon>0), em valor absoluto.

Passo 1

Queremos provar que
limxto1x+2x+1=32
pela definição de limite: dado epsilon>0, devemos encontrar de<a>0 tal que, sempre que lvert x-1rvert<de<a e xneq -1, então
llvertx+2x+1-32rrvert<epsilon

Passo 2

Escrevendo a diferença e simplificando:
llvertx+2x+1-32rrvert =llvert2(x+2)-3(x+1)2(x+1)rrvert =llvert2x+4-3x-32(x+1)rrvert =lvert1-xrvert2,lvert x+1rvert =lvert x-1rvert2,lvert x+1rvert

Passo 3

Para controlar lvert x+1rvert longe de zero, impomos também lvert x-1rvert<1. Isso garante
0< x<2 Longrightarrow 1< x+1<3 Longrightarrow lvert x+1rvert>1
Logo, sob a condição lvert x-1rvert<1, temos
1lvert x+1rvert<1 Longrightarrow lvert x-1rvert2,lvert x+1rvert <lvert x-1rvert2

Passo 4

Para que lvert x-1rvert2<epsilon basta exigir
lvert x-1rvert<2epsilon
Concluímos que, se escolhermos
de<a=min1,,2epsilon,
então sempre que lvert x-1rvert<de<a teremos simultaneamente lvert x-1rvert<1 (o que controla o denominador) e lvert x-1rvert<2epsilon, garantindo
llvertx+2x+1-32rrvert<epsilon

Resposta

Bastará tomar
de<a=min1,,2epsilon

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