• Demonstrar que o círculo osculador não corta a curva nos pontos em que o raio de curvatura é máximo ou mínimo.

Passo 1

Vamos mostrar que, num ponto P de uma curva plana onde o raio de curvatura ou, equivalentemente, a curvatura k(s) atinge um extremo ( k'(s0)=0), o círculo osculador em P não chega a cortar a curva. Para isso, vamos usar uma expansão de Taylor da curva num sistema de coordenadas local centrado em P.

Passo 2

Escolhemos no ponto P um sistema de coordenadas (x,y) de Monge em que o eixo x é tangente à curva e o eixo y é normal, de modo que
y = f(x), f(0)=0,;f'(0)=0
Nesse sistema, a curvatura é dada por
k(x)=f''(x)l(1+f'(x)^2r)^3/2

Passo 3

Fazemos a expansão de Taylor de f em torno de x=0 até a quarta ordem:
f(x)=f''(0)2,x^2+f'''(0)6,x^3+f''''(0)24,x^4+O(x^5)

Passo 4

Em x=0 temos f''(0)=k0 (curvatura em P) e
f'''(0)=k'(0),l(1+f'(0)^2r)^3/2|x=0=k'(0)
No extremo de curvatura k'(0)=0, logo a expansão simplifica para
f(x)=k02,x^2 + A,x^4 + O(x^5), A=f''''(0)24

Passo 5

O círculo osculador em P tem centro l(0,tfrac1k0r) e raio tfrac1k0. A sua equação é
x^2+l(y-tfrac1k0r)^2=1k0^2
Para y pequeno (isto é, perto de P) obtemos por isolação
yrm circ(x)=k02,x^2 + B,x^4 + O(x^6),
onde B é algum coeficiente irrelevante para o sinal da diferença de ordem mais alta.

Passo 6

Subtraindo as duas curvas,
De<a(x)=f(x)-yrm circ(x) =l(A-Br),x^4 + O(x^5)
Para x suficientemente pequeno e xneq0, o termo líder em x^4 domina e tem sinal fixo (o de A-B). Assim a curva permanece inteiramente de um mesmo lado do círculo osculador e não o corta.

Resposta

Em pontos de extremo de curvatura ( k'(s0)=0), a curva e o círculo osculador têm contato até segunda ordem e a diferença surge num termo de ordem quatro com sinal fixo. Logo não há interseção local entre o círculo e a curva.

Exercícios de Livros Relacionados