Demonstrar que o círculo osculador não corta a curva nos pontos em que o raio de curvatura é máximo ou mínimo.
Passo 1
Vamos mostrar que, num ponto de uma curva plana onde o raio de curvatura ou, equivalentemente, a curvatura atinge um extremo (), o círculo osculador em não chega a cortar a curva. Para isso, vamos usar uma expansão de Taylor da curva num sistema de coordenadas local centrado em .
Passo 2
Escolhemos no ponto um sistema de coordenadas de Monge em que o eixo é tangente à curva e o eixo é normal, de modo que
Nesse sistema, a curvatura é dada por
Passo 3
Fazemos a expansão de Taylor de em torno de até a quarta ordem:
Passo 4
Em temos (curvatura em ) e
No extremo de curvatura k'(0)=0, logo a expansão simplifica para
f(x)=k02,x^2 + A,x^4 + O(x^5), A=f''''(0)24
Passo 5
O círculo osculador em P tem centro l(0,tfrac1k0r) e raio tfrac1k0. A sua equação é
x^2+l(y-tfrac1k0r)^2=1k0^2
Para y pequeno (isto é, perto de P) obtemos por isolação
yrm circ(x)=k02,x^2 + B,x^4 + O(x^6),
onde B é algum coeficiente irrelevante para o sinal da diferença de ordem mais alta.
Passo 6
Subtraindo as duas curvas,
De<a(x)=f(x)-yrm circ(x) =l(A-Br),x^4 + O(x^5)
Para x suficientemente pequeno e xneq0, o termo líder em x^4 domina e tem sinal fixo (o de A-B). Assim a curva permanece inteiramente de um mesmo lado do círculo osculador e não o corta.
Resposta
Em pontos de extremo de curvatura (k'(s0)=0), a curva e o círculo osculador têm contato até segunda ordem e a diferença surge num termo de ordem quatro com sinal fixo. Logo não há interseção local entre o círculo e a curva.
Cálculo - Richard Courant - Cálculo 1 - 1ª Edição - Capítulo Exemplos Diversos.Exemplos Diversos - Ex. 168