Determinar, em termos de polinómios de Tchebycheff, um polinomio Q(x) de grau <=q n que melhor aproxime x^n+1 no intervalo [-1,1] relativamente à norma maximal.

Passo 1

O enunciado pede o polinómio de grau <= n que minimiza o erro máximo
|x^n+1-Q(x)|C([-1,1]). O método baseia-se no Teorema de Alternância de Chebyshev, que diz que o erro ótimo alterna com igual magnitude em n+2 pontos, e que esse erro é proporcional ao polinómio de Chebyshev Tn+1(x).

Passo 2

Formulemos o erro
R(x)=x^n+1-Q(x),
que é um polinómio de grau <= n+1. Pelo Teorema de Alternância, no melhor aproximante Q o R(x) tem n+2 pontos de extremum equi-distantes em [-1,1] e igual amplitude, logo
R(x)=c,Tn+1(x)
para algum coeficiente c.

Passo 3

Recordando que
Tn+1(x)=2^n x^n+1+(termos de grau (<= n)),
o termo de maior grau de R(x)=x^n+1-Q(x) é 1cdot x^n+1. Por outro lado, o termo de maior grau de c,Tn+1(x) é ccdot2^n x^n+1.

Passo 4

Igualando os coeficientes de x^n+1 obtemos
c,2^n = 1 Longrightarrow c = 12^n

Passo 5

Assim
x^n+1-Q(x)=12^nTn+1(x) Longrightarrow Q(x)=x^n+1-12^nTn+1(x),
que é um polinómio de grau <= n e de erro máximo mínimo |R|infty=2^-n.

Resposta

Q(x)=x^n+1-12^n,Tn+1(x)

Exercícios de Livros Relacionados