Determinar, em termos de polinómios de Tchebycheff, um polinomio
de grau
que melhor aproxime
no intervalo
relativamente à norma maximal.
Passo 1
O enunciado pede o polinómio de grau
que minimiza o erro máximo
. O método baseia-se no Teorema de Alternância de Chebyshev, que diz que o erro ótimo alterna com igual magnitude em
pontos, e que esse erro é proporcional ao polinómio de Chebyshev
.
Passo 2
Formulemos o erro
que é um polinómio de grau
. Pelo Teorema de Alternância, no melhor aproximante
o
tem
pontos de extremum equi-distantes em
e igual amplitude, logo
para algum coeficiente
.
Passo 3
Recordando que
o termo de maior grau de
é
. Por outro lado, o termo de maior grau de
é
.
Passo 4
Igualando os coeficientes de
obtemos
Passo 5
Assim
que é um polinómio de grau
e de erro máximo mínimo
.