Determinar os três primeiros têrmos que não se anularn da série de Taylor de tg x na vizinhança de x=0, empregando a relação tg x=sen xcos x, e justificar o procedimento.

Passo 1

O enunciado pede os três primeiros termos não nulos da série de Taylor de tan x em x=0, usando a relação tan x = sin xcos x. Vamos precisar das expansões de Maclaurin de sin x e cos x e depois realizar uma divisão de séries ou, equivalentemente, igualar coeficientes numa identidade de produto.

Passo 2

Escrevemos as expansões conhecidas até ordem x^5:
sin x = x - x^36 + x^5120 + O(x^7)
cos x = 1 - x^22 + x^424 + O(x^6)

Passo 3

Suponha
tan x = a1 x + a3 x^3 + a5 x^5 + O(x^7)
Como tan x cdot cos x = sin x, temos
l(a1 x + a3 x^3 + a5 x^5r)l(1 - tfracx^22 + tfracx^424r) = sin x = x - tfracx^36 + tfracx^5120 + O(x^7)

Passo 4

Multiplicando e coletando termos:
(a1 x + a3 x^3 + a5 x^5)(1 - tfracx^22 + tfracx^424) = a1 x + (a3 - tfraca12)x^3 + (a5 - tfraca32 + tfraca124)x^5 + O(x^7)
Comparando coeficientes com x - tfracx^36 + tfracx^5120:
- Ordem x: a1 = 1.
- Ordem x^3: a3 - tfraca12 = -tfrac16 Rightarrow a3 = tfrac12 - tfrac16 = tfrac13.
- Ordem x^5: a5 - tfraca32 + tfraca124 = tfrac1120 Rightarrow
a5 = tfrac1120 + tfraca32 - tfraca124 = tfrac1120 + tfrac16 - tfrac124 = tfrac215

Resposta

tan x = x + 13x^3 + 215x^5 + cdots

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