Demonstrar a convergência da série sumnu=1^infty(1-1raiznu)^nu.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
sumnu=1^inftyl(1 - 1raiznur)^nu
converge. O conteúdo principal envolve testes de convergência de séries de termos positivos, em particular o uso de comparação assintótica e do teste da integral.

Passo 2

Mostramos que, para todo nu>=1, vale
anu = l(1 - 1raiznur)^nu ;<=; expl(nuln(1 - tfrac1raiznu)r)
Como para 0<x<1 temos ln(1-x)<= -x, tomando x=nu^-1/2 obtemos
nulnl(1 - 1raiznur) ;<=; -nucdot1raiznu = -raiznu Longrightarrow anu<= e^-raiznu

Passo 3

Agora consideramos a série de comparação
sumnu=1^inftye^-raiznu
Usamos o teste da integral: seja
I = integral1^infty e^-raizx,dx
Fazendo a mudança de variável u=raizx, dx=2u,du, tem-se
I = integralu=1^infty e^-u,2u,du = 2integral1^inftyu,e^-u,du,
e sabemos que integral1^inftyu,e^-u,du converge (pois a função u e^-u decai exponencialmente). Logo sum e^-raiznu converge.

Passo 4

Como para nu grande 0<= anu<= e^-raiznu e sum e^-raiznu converge, pelo critério da comparação concluímos que
sumnu=1^inftyl(1 - 1raiznur)^nu
também converge.

Resposta

A série sumnu=1^inftyl(1 - 1/raiznur)^nu converge.

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