Demonstrar a convergência da série
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série
converge. O conteúdo principal envolve testes de convergência de séries de termos positivos, em particular o uso de comparação assintótica e do teste da integral.
Passo 2
Mostramos que, para todo
, vale
Como para
temos
, tomando
obtemos
Passo 3
Agora consideramos a série de comparação
Usamos o teste da integral: seja
Fazendo a mudança de variável
,
, tem-se
e sabemos que
converge (pois a função
decai exponencialmente). Logo
converge.
Passo 4
Como para
grande
e
converge, pelo critério da comparação concluímos que
também converge.
Resposta
A série
converge.